Chuyên đề phương trình vô tỷ ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1. Phương trình vô tỷ cơ bản:

2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )

g x f x g x f x g x

≥  = ⇔ = 

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) 2 2 6 2 1 x x x + + = +

b) 2 1 4 9 x x x + + = +

Lời giải:

a). Phương trình tương đương với:

2 2 x = +

b). Điều kiện: 0 x ≥ . Bình phương 2 vế ta được:

2 2 2 2 8 3 1 2 2 4 9 2 2 8 4(2 ) ( 8)

x x x x x x x x x x x

≥−  + + + = + ⇔ + = + ⇔ + = + 

2

4 8 16 7 12 64 0 7

x x

x x x

=  ≥−   ⇔ ⇔  = − − − =  

. Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có

4 x = là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƯỜNG GẶP

1. Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp:

THCS.TOANMATH.com

Dấu hiệu:

+ Khi ta gặp các bài toán giải phương trình dạng: ( ) ( ) ( ) 0 n m f x g x h x + + =

Mà không thể đưa về một ẩn, hoặc khi đưa về một ẩn thì tạo ra những phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích hoặc giải trực tiếp khó khăn.

+ Nhẩm được nghiệm của phương trình đó: bằng thủ công ( hoặc sử dụng máy tính cầm tay)

Phương pháp:

• Đặt điều kiện chặt của phương trình ( nếu có)

Ví dụ: Đối phương trình: 2 2 3 3 2 7 2 x x x + + = + + .

+ Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy:

Phương trình xác định với mọi x R ∈ . Nhưng đó chưa phải là điều kiện chặt. Để giải quyết triệt để phương trình này ta cần đến điều kiện chặt đó là:

+ Ta viết lại phương trình thành: 2 2 3 2 7 2 3 x x x + − + = −

Để ý rằng: 2 2 3 2 7 0 x x + − + < do đó phương trình có nghiệm khi 3 2 3 0 2 x x − < ⇔ <

• Nếu phương trình chỉ có một nghiệm 0x :

Ta sẽ phân tích phương trình như sau: Viết lại phương trình thành:

0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n m n m f x f x g x g x h x h x − + − + − =

Sau đó nhân liên hợp cho từng cặp số hạng với chú ý:

+ ( )( ) 3 3 2 2 3 3 3 a b a ab b a b − + + = −

+ ( )( ) 2 a b a b a b − + = −

THCS.TOANMATH.com

+ Nếu ( ) 0 h x = có nghiệm 0 x x = thì ta luôn phân tích được

0 ( ) ( ) ( ) h x x x g x = −

Như vậy sau bước phân tích và rút nhân tử chung 0 x x − thì phương trình

ban đầu trở thành:

0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0

x x x x A x A x

− =  − = ⇔ = 

Việc còn lại là dùng hàm số , bất đẳng thức hoặc những đánh giá cơ bản để kết luận ( ) 0 A x = vô nghiệm.

• Nếu phương trình có 2 nghiệm 1 2 , x x theo định lý viet đảo ta có nhân

tử chung sẽ là: 2 1 2 1 2 ( ) . x x x x x x − + +

Ta thường làm như sau:

+ Muốn làm xuất hiện nhân tử chung trong ( ) n f x ta trừ đi một lượng

ax b + . Khi đó nhân tử chung sẽ là kết quả sau khi nhân liên hợp của

( ) ( ) n f x ax b − +

+ Để tìm ,a b ta xét phương trình: ( ) ( ) 0 n f x ax b − + = . Để phương trình có

hai nghiệm 1 2 , x x ta cần tìm ,a b sao cho

1 1

2 2

( )

( )

n

n

ax b f x

ax b f x

 + =  + = 

+ Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại:

Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) 3 3 5 1 2 1 4 0 x x x −+ −+ − =

b) 2 2 4 2 5 3 x x x x − + − = − −

Giải:

THCS.TOANMATH.com

a).

Phân tích: Phương trình trong đề bài gồm nhiều biểu thức chứa căn nhưng không thể quy về 1 ẩn. Nếu ta lũy thừa để triệt tiêu dấu 3 , thì sẽ tạo ra phương trình tối thiểu là bậc 6. Từ đó ta nghỉ đến hướng giải : Sử dụng biểu thức liên hợp để tách nhân tử chung.

Điều kiện 3 1 5 x ≥

Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: 1 x = . Khi đó

3 3 5 1 5 1 2; 2 1 2 1 1 x x −= −= −= −=

Ta viết lại phương trình thành: 3 3 5 1 2 2 1 1 1 0 x x x −− + −−+ −=

( )

3

3 2 3 3 5 5 2 2 1 0 5 1 2 0 2 1 2 1 1

x x x x x x

− − ⇔ + + −= −+ = − + −+

( )

2

3 2 3 3 5( 1) 2 ( 1) 1 0 5 1 2 2 1 2 1 1

x x x x x x

  + +   ⇔ − + + =   −+ − + −+  

Dễ thấy :

Với điều kiện 3 1 5 x ≥ thì

( )

2

3 2 3 3 5( 1) 2 1 0 5 1 2 2 1 2 1 1

x x

x x x

+ + + + > −+ − + −+

Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2 x =

b). Điều kiện: [ ] 2;4 x∈

Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: 3 x = . Khi đó

2 3 2 1; 4 4 3 1 x x − = − = − = − =

Từ đó ta có lời giải như sau: