Chuyên đề bất đẳng thức ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

BẤT ĐẲNG THỨC

Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI)

Cho các số thực không âm , , a b c khi đó ta có:

1. 2 a b ab + ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = .

2. 3 3 a b c abc + + ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = = .

Các bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực không âm. (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM)

Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy . Ta cần nắm chắc những kết quả sau:

1)

2 2 1 1 4 2 2 a b a b a b + ≥ ≥ + +

; ( )

2 2 2 x y x y a b a b + + ≥ +

2)

2 2 2 1 1 1 9 3 3 a b c a b c a b c + + ≥ ≥ + + + +

3) 2 2 2 2 2 3 1 3 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 a ab b a b a b a b + + = + + − ≥ +

4) 2 2 2 2 2 1 3 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 a ab b a b a b a b − + = + + − ≥ +

5) ( )

2 2 2 2 3 a b c ab bc ca a b c + + + + ≤ ≤ + +

6) ( )

2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c + + + + ≥ + +

7) ( )

3 3 3 4 a b a b + + ≥

THCS.TOANMATH.com

8) ( ) ( )

2 2 4 4 2 4 4 2 2 4 4 ( ) ( ) 2( ) 2 4 8 a b a b a b a b a b a b   + + + + ≥ + ≥ = ⇒ + ≥      

9) Với , 0 a b ≥ thì 1 ( ) 2

m n m n m m a b a b + + + ≥ + (*)

Thật vậy BĐT cần chứng minh tương đương với ( )( )( ) 0 n n m m n n a b a b a b + − − ≥ điều này là hiển nhiên đúng.

(**) Tổng quát ta có 2 2

n n n a b a b + +   ≥   

Thật vậy áp dụng (*) ta có

1 1 ...... 2 2 2 2

n n n n n a b a b a b a b − −   + + + +     ≥ ≥            

10) Với , , 0 a b c ≥ thì 1 ( )( ) 3

m n m n m n m m m n n n a b c a b c a b c + + + + + ≥ + + + + (*)

Thật vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 m m n n m m n n m m n n a b a b b c b c c a c a − − + − − + − − ≥ mà điều này là hiển nhiên đúng.

Tổng quát ta có: 3 3

n n n n a b c a b c + + + +   ≥   

. Thật vậy áp dụng (*) ta có:

2 1 1 1 2 2 2 . 3 3 3 3 3

n n n n n n n n n a b c a b c a b c a b c a b c − − − − − −     + + + + + + + + + +     ≥ ≥                 Áp dụng bất đẳng thức này ta có:

3 3 3 3

n n n n n n n n n n n n n n a b b a b c a b c a b c   + + + + + + + + ≥ ⇔ ≤      

Tương tự ta có:

1 1 1 1 1 1

3 3

n

n n n a b c a b c   + + + +   ≥     

Do 1 1 1 9 a b c a b c + + ≥ + + suy ra 1 1 1 3 3

n

n n n a b c a b c   + + ≥  + +  

.

11) 1 1 2 1 1 1 a b ab + ≥ + + +

với mọi , 1 a b ≥

THCS.TOANMATH.com

Tổng quát: với , 1 a b ≥ ta có

( )

1 1 2 (1 ) (1 ) 1 n n n a b ab + ≥ + + +

12) Với 0 , 1 a b ≤ ≤ thì 1 1 2 1 1 1 a b ab + ≤ + + +

Tổng quát: Với [ ] , 0;1 a b∈ ta có: 1 1 2 1 1 1 n n n a b ab + ≤ + + +

13) Một số kết quả được suy ra từ bất đẳng thức Cô si.

+ ( )( )( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 a b x y m n axm byn + + + ≥ + (*)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

( )( )( )

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a x m axm a b x y m n a b x y m n + + ≥ + + + + + +

( )( )( )

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b y n byn a b x y m n a b x y m n + + ≥ + + + + + +

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra:

( )( )( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 axm byn

a b x y m n

+ ≥ ⇔ + + +

( )( )( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 a b x y m n axm byn + + + ≥ + .

+ Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được:

( )( )( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c x y z m n p axm byn czp + + + + + + ≥ + + .

Ví dụ 1: Cho các số thực không âm , , a b c . Chứng minh rằng:

a) ( ) 3 3 a b ab a b + ≥ + .