Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường môn Toán trường THPT Chu Văn An Gia Lai

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút

Câu 1(4 điểm). Cho hàm số 3 2 3 2 y x x mx     (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1  . Câu 2(4 điểm).

1)Giải phương trình cos cos 3 1 2 sin 2 4 x x x p æ ö÷ ç ÷ + = + + ç ÷ ç ÷ çè ø

2)Giải phương trình 2 2 4 2 4 x x x x      Câu 3(4 điểm).

1)Giải hệ phương trình

2 2 3 2

2 2 3 2

y y x

x x y

 

 

   

2)Cho dãy số (u ) n xác định như sau

1

1

1

1 , 2 3 n n

u

u n u 

           (1). Chứng minh dãy số (u ) n có

giới hạn hữu hạn khi n  Câu 4(2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , có đỉnh ( 1;4) A  và các điểm B, C thuộc đường thẳng : 4 0 x y    . Xác định tọa độ điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Câu 5(3 điểm). 1) Chứng minh rằng 0 2 4 2014 2013 2014 2014 2014 2014 3 5 7 ... 2017 1010.2 . C C C C      2) Cho tập A   1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Lập ngẫu nhiên một số có 3 chữ số khác nhau với các chữ số chọn từ tập A. Tính xác suất để số lập được chia hết cho 6. Câu 6(3 điểm). Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có , AB a BC b  , SA SB SC SD c    . K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC . a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK . b/ Gọi , M N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Các đường thẳng BM và MN vuông góc nhau ………Hết……… (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không được sử dụng tài liệu)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐAP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG 2017 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút Câ u

Nội dung Điể m 1. Ta có: 2 ' 3 6    y x x m . Hàm số có CĐ, CT 2 ' 3 6 0 y x x m      có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x ' 9 3 0 3 m m      (*) Gọi hai điểm cực trị là     1 2 1 2 ; ; ; A B x y y x

Thực hiện phép chia y cho y ta được: 1 1 2 ' 2 2 3 3 3 3 m m y x y x                        

     1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 2 3 3 3 3                                

    y y x y y m x m m m x x

 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là

: 2 2 2 3 3 m m y x                

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x 1   xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y x 1  

2 3 2 1 3 2 m m            (thỏa mãn)

TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y x 1  

    2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3

2 2 3 .2 6 0 3 3

                         

      

     

I I x m m x x x x x

m m

y y

m

y x

Vậy các giá trị cần tìm của m là: 3 0; 2 m        

1,0 1,0 1,0 1,0

2. 1) PT 2cos2 cos 1 sin2 cos2 x x x x  = + + cos2 (2cos 1) 1 2sin cos x x x x  - = +

2 2 2 (cos sin )(2cos 1) (cos sin ) x x x x x  - - = +

cos sin 0 (1) (cos sin )(2cos 1) cos sin (2) x x x x x x x

é + = ê ê - - = + êë

(1) 2 sin 0 4 4 4 x x k x k p p p p p æ ö÷ ç ÷  + =  + =  = - + ç ÷ ç ÷ çè ø

( )

cos 0 2 (2) 2cos (cos sin 1) 0 2 cos 1 2 4 4 4

x x k x x x k x x k

p p p p p p

é é = ê = + ê ê ê æ ö  - - =   Î ê ÷ ç ê ÷ + = ç ê ÷ ê ç + =  + ÷ ç ê è ø êë ë



Vậy pt có nghiệm là 4 x k p p = - + , ( ) , 2 . 2 x k x k k p p p = + = Î 

0,5 0,5 0,5