Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia lớp 12 môn Toán năm 2018 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực   1 n n a  xác định bởi: 1 2 3 1, 2 a a a    và

1 2 3

7 n n n

n

a a a a

  

 

với mọi số nguyên dương .n

a) Chứng minh rằng na là số nguyên, với mọi số nguyên dương .n

b) Tìm giới hạn

2 2 2 2 2 1

2 2 1 lim . n n n

n

n n

a a a a a

 







Bài 2 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp  I tiếp xúc với , , BC CA AB lần lượt tại các

điểm , , . D E F Gọi , M N lần lượt là giao điểm của , AD CF với . I Chứng minh rằng

. 3. . MN FD MF ND 

Bài 3 (5,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn         2 2 2 2 , f f x y f x y f y f xy     với mọi , . x y 

Bài 4 (5,0 điểm).

Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 2018  gồm 2 2018 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số 1, 0,1.  Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số 1  và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là 1 2 2018 , , , a a a  ở hàng thứ nhất, 1 2 2018 , , , b b b  ở hàng thứ hai sao cho

1 1 2 2 2018 2018 S a b a b a b    là một số chẵn.

--------HẾT---------

 Họ và tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ...............

 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 -

2019 Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018 (Đáp án-thang điểm gồm 05 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài  Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.  Thí sinh làm bài cách khác với Đáp án mà đúng thì Tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Đáp án.  Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.

II. Đáp án-thang điểm Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực   1 n n a  xác định bởi: 1 2 3 1, 2 a a a    và

1 2 3

7 n n n

n

a a a a

  

 

với mọi n nguyên dương.

c) Chứng minh rằng na là số nguyên, với mọi n nguyên dương.

d) Tìm giới hạn

2 2 2 2 2 1

2 2 1 lim . .

n n n

n

n n

a a a a a

 







Đáp án Điểm a) Từ hệ thức xác định dãy  , na dễ dàng chỉ ra được 4 9, a  0, na n   và

* 3 1 2 7, . n n n n a a a a n       Suy ra

* 4 1 2 3 7, . n n n n a a a a n        0,5

Do đó, với mọi

*, n ta có

   

* 4 1 3 2 3 1 2 4 2 1 2 3, . n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a n                     Từ đó, do 0, na n  , ta được

* 4 2 2

3 1

, . n n n n

n n

a a a a n a a

  

 

   

1,0

Do đó, với mọi

*, k  ta có

2 3 2 1 2 1 2 1

2 2 2

2 4 2 2 2 2 2

2 3 2 1

.

k k k k

k k

k k k k

k k

a a a a a a

a a a a a a

   



  

 

         

Suy ra

1,0

ĐỀ CHÍNH THỨC