Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển HSG lớp 11 môn Toán năm học 2016 2017 trường Lê Lợi Thanh Hóa lần 1

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể giao đề) Câu 1 (3,0 điểm)

Giải phương trình: ( ) sin 2 3 cos2 2 3 sin cos 1 3 x x x x + + + − = + .

Câu 2 (3,0 điểm) Cho phương trình bậc hai 2 2 2 2 4 0 x mx m m − + − + = ( x là ẩn và m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm không âm 1 2 , x x . Tính theo m giá trị của biểu thức 1 2 P x x = + và tìm giá trị nhỏ nhất của P .

Câu 3 (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 3 1 5 4 3 3 + + + = − + x x x x

2. Giải hệ phương trình:

2 3 2

4 2 1

(2 1) 1

 + − + − =  + − − = 

x x y xy xy y

x y xy x

Câu 4. (3,0 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần. Câu 5 (3,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( 1; 1) A −− và đường tròn (T) có phương trình

2 2 6 4 12 0 x y x y + − − − = . Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc (T). Viết phương trình đường thẳng BC biết rằng (1;1) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Câu 6 (4,0 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BB’, C’D’. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện đó.

-----------------------------Hết ----------------------- Họ và tên thí sinh ........................................................SBD: ......................

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, TS không dùng MTBT)

Đề chính thức ( Gồm có 01 trang )

SỞ GD & ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

ĐỀ THI KTCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016 -2017 – LẦN 1

Môn: Toán – lớp 11

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể giao đề) Câu Nội dung Điểm 1 Ta có ( ) sin 2 3 cos2 2 3 sin cos 1 3 x x x x + + + − = +

( ) ( ) 2 2sin .cos cos 3 1 2sin 2 3 sin 3 1 0 x x x x x ⇔ − + − + + − −=

( ) ( )( ) cos 2sin 1 2sin 1 3sin 1 0 x x x x ⇔ − − − − = ( )( ) 2sin 1 cos 3sin 1 0 x x x ⇔ − − + =

1 sin 3sin cos 1 2 x x x ⇔ = ∨ − =

+) ( ) 2 1 6 sin 5 2 2 6

x k x k x k

π π

π π

= +  = ⇔ ∈  = + 



+) 3 1 1 1 3sin cos 1 sin cos sin 2 2 2 6 2 x x x x x π   − = ⇔ − = ⇔ − =    

( ) 2 2 6 6 3 5 2 2 6 6

x k x k k x k x k

π π π π π π π π π π

− = +   = +  ⇔ ⇔ ∈    = + − = +  



Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm là

( ) 5 2 , 2 , 2 , 2 6 6 3 x k x k x k x k k π π π π π π π π = + = + = + = + ∈

1,0 1,0 1,0

2 *) Phương trình 2 2 2 2 4 0 x mx m m − + − + = (1) có hai nghiệm không âm

2 2

2

' 2 4 0 2 0 2.

2 4 0

m m m S m m

P m m

∆= − + − ≥  ⇔ = ≥ ⇔ ≥   = − + ≥  *) Theo định lý Vi-ét ta có 2 1 2 1 2 2 ; 2 4 x x m x x m m + = = − + . Do đó

( ) ( )

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 3 x x x x x x x x m m + = + = + + = + − +

Do 1 2 2 8 m x x ≥ ⇒ + ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 m = .

1,5 1,5

3.1 Giải phương trình: 2 3 1 5 4 3 3 + + + = − + x x x x (1)

*) Điều kiện: 1 3 x ≥−

Khi đó (1) ( ) ( ) 2 3 1 1 5 4 2 3 − ⇔ + − + + = − x x x x

( ) 5 3 3 1 3 1 1 5 4 2 x x x x x x + ⇔ = − + + + +

0,5 0,5

SỞ GD & ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KTCL ĐỘI TUYỂN HSG

NĂM HỌC 2016 -2017 – LẦN 1

Môn: Toán – lớp 11