Đề thi Olympic 27/4 lớp 11 môn Toán năm 2017 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa Vũng Tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 Ngày thi: 06/03/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1 (5,0 điểm):

1) Giải phương trình    4 4 2 cos sin 1 2cos2 sin 3cos3 . x x x x x    

2) Cho tam giác ABC không tù và thỏa mãn   3 3 3 9 2 cos cos cos 3cos cos cos 8 A B C A B C     .

Chứng minh ABC là một tam giác đều. Bài 2 (2,0 điểm): Cho khai triển sau:

   

2018 2 2018 2017 2018 1 2 2018 2017 1 0 2 2018 2 2 ... ... 1 1 1 1

b x x b b a x a x a x a x x x x

                     với 1 x .

Hãy tính hệ số 0a và tổng 1 2 2018 ... . S b b b    

Bài 3 (5,0 điểm): Cho đoạn AB vuông góc mặt phẳng (P) tại điểm B. Trong (P) lấy điểm H thỏa ( 0) BH BA a a    . Vẽ đường thẳng d nằm trong (P) và qua H , d vuông góc với . BH Hai điểm

, M N di động trên d và thỏa mãn  90 . MAN   Đường thẳng qua A và vuông góc mặt phẳng ( ) AMN cắt (P) tại điểm K. 1) Chứng minh rằng B là trực tâm của tam giác KMN . 2) Gọi ,  lần lượt là số đo các góc tạo bởi BM với mp( ) AKN , BN với mp( ) AKM . Chứng

minh 2 2 1 cos cos 2     và tìm giá trị nhỏ nhất của   .

Bài 4 (4,0 điểm): Cho dãy số ( ) na xác định bởi công thức:

1 2

2 1

1; 2;

(3 2) 2( 1) ; 1;2;3; ... n n n

a a

na n a n a n  

         

1) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy ( ) na .

2) Chứng minh * 1 2 ( 1) 1 1 ... 1 ; . 2 n n n a a a n      

3) Tính 1 2 2 lim ... 3 3 3

n n a a a          .

Bài 5 (4,0 điểm):

1) Tìm tất cả các giá trị của a để giới hạn   2 2 lim 2 2 x x ax x x x x      có giá trị hữu hạn.

2) Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn        2 f x y f x f y f xy f x f y xy       với mọi , . x y 

----------------- HẾT ----------------- Họ và tên thí sinh........................................................................... Số báo danh ..................................

Chữ ký của giám thị 1 ...................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

KỲ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Bài Nội dung Điểm 1.1 (2,5 đ)    

  

4 4

2 2 2 2

2 cos sin 1 2cos2 sin 3 cos3

2 cos sin cos sin sin 2sin cos2 3 cos3

x x x x x

x x x x x x x x

   

      0,25

2cos2 sin sin3 sin 3 cos3 x x x x x      0,5

3 1 cos3 sin3 cos2 2 2 x x x   

0,25

cos cos3 sin sin3 cos2 cos 3 cos2 6 6 6 x x x x x                0,25x2

  3 2 2 2 6 6 2 3 2 2 6 30 5

x x k x k k x x k x k

                                



0,5x2

1.2 (2,5đ) Ta có     1 cos cos cos cos cos cos 2 A B C A B A B C         0,25

    2 1 cos cos cos 2 C A B A B          0,25

    2 2 2 2 1 1 1 cos cos2 cos2 cos cos cos 1 2 2 2 C A B A B C               0,25x2

Do đó     3 3 3 2 2 2 3 9 2 cos cos cos cos cos cos 1 2 8 gt A B C A B C        

0,25

    3 2 3 2 16cos 12cos 1 16cos 12cos 1 A A B B         3 2 16cos 12cos 1 0 C C    

0,25

      2 2 2cos 1 4cos 1 2cos 1 4cos 1 A A B B          2 2cos 1 4cos 1 0 C C    

0,25

1 cos cos cos 2 A B C     (Do4cos 1 0,4cos 1 0,4cos 1 0 A B C       ). 0,25x2

0 60 A B C ABC      đều (đpcm). 0,25 2 (2,0đ) Đặt

2018 2 2 2 ( ) 1 x x f x x          ta có 2018 0 1 2018 (0) ... 2 f a b b      .

Vậy 2018 0 2 . a S   (1)

0,5

2018 2018 2 2018 2018 0

1008 2018 2 2018 2018 2018 2018 2 0 1009

1 ( ) 1 ( 1) 1

( 1) ( 1)

k k

k

k k k k k k

f x x C x x

C C x x





   

           

   



 

.

0,5

1008 1007 1 0 1 3 2017 2 4 2018 2018 2018 2018 2018 ... 0 ... ... b b b S b b b C C C C               0,25