Đề thi chọn HSG lớp 11 môn Toán cấp trường năm 2017 2018 trường Lý Thái Tổ Bắc Ninh

Câu I. (4,0 điểm)

Cho hàm số

3 2 3 x y x x m = - + + có đồ thị là  C . Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ

thị  C tại điểm M có 3 M x = chắn hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2 .

Câu II. (6,0 điểm) 1) Giải phương trình

2 sin 2 sin cos 1 4 x x x p æ ö÷ ç ÷ - = + - ç ÷ ç ÷ çè ø

2) Tìm số nguyên dương lẻ n sao cho

1 2 2 3 3 4 1 2.2 3.2 4.2 ... .2 2019. n n n n n n n C C C C n C - - + - + + =

3) Tính giới hạn

2

1 2017(2018 ) 2017 lim 1 x x I x  - - = -

Câu III. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: 2 2 3 1 3 16 2 2 5 3 x x x x x + + + = - + + +

2) Giải hệ phương trình:

3 3 2

3 3 6 3 4 0

3 4 1 2 2 4 8 2 5

x y x x y

x x y x y

ìï - + + - + = ïïíï + + + - = + + ïïî

( ) , x y Î 

Câu IV. (4,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng

: 2 6 0 d x y + - = , điểm ( ) 1;1 M thuộc cạnh BD biết rằng chình chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh

, AB AD đều nằm trên đường thẳng : 1 0 x y D + - = . Tìm tọa độ đỉnh C .

2) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên nửa đưởng thẳng Ox

vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc  0 60 SCB = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD . Câu V. (2,0 điểm) Cho , , , a b c d là các số thực thoả mãn 2 2 2 2 25;c 16 a b d + = + = và 20 ac bd + ³ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P a d = + . ---------------Hết---------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….………..…….................…….….….; Số báo danh:……….....……….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ (Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: Toán – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 14 tháng 04 năm 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: Toán – Lớp 11

Câu Lời giải sơ lược Điểm 1(4,0 điểm)

Ta có 2 y ' x 2x 1   

Theo giả thiết ta có M(3;3 m)  (C), phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là:

y y '(3)(x 3) 3 m     y 4(x 3) 3 m y 4x 9 m (Δ)          2,0

Gọi 9 m A Δ Ox A ;0 4           ;   0; 9 B Oy B m   

Diện tích tam giác OAB: OAB 1 1 9 m S OA.OB m 9 2 2 4     =

2 (m 9) 8 

Theo giả thiết:

2 2 OAB m 13 (m 9) S 2 2 (m 9) 16 m 5 8

           

Vậy m 5;m 13.  

2,0

2.1 (2 điểm) 2 sin 2 sin cos 1 4 x x x p æ ö÷ ç ÷ - = + - ç ÷ ç ÷ çè ø . (1)

(1) sin 2 cos2 sin cos 1 x x x x     sin 2 sin cos2 cos 1 x x x x      2 2sin cos sin 2cos cos 1 x x x x x      0,5

sin (2cos 1) (2cosx 1)(cosx 1) x x     

(2cos 1)(sinx cos 1) 0 x x     

1 cos ( ) 2 sin cos 1( )

x a

x x b

      

1,0

( ) 2 3 a x k     

2 4 4 (b) 2 sin 1 3 4 2 4 4

x k x

x k

      

                

2 2 2

x k

x k

 

 

     

0,5

2.2 (2 điểm).

Ta có ( ) 0 1 2 2 3 3 1 ... n n n n n n n n x C C x C x C x C x + = + + + + +

Lấy đạo hàm 2 vế ta được: ( ) 1 1 2 3 2 1 1 2 3 ... n n n n n n n n x C C x C x C x - - + = + + + + 1,0

Cho ( ) 1 1 1 2 3 2 2 ( 1) 2 2 3 2 ... 2 n n n n n n n x n C C C nC - - = -  - = - + - + -

Vì n lẻ nên ta có: 1 2 3 2 1 2 2 3 2 ... 2 2019 n n n n n n n C C C n C - = - + - + =

Vậy 2019 n =

1,0

2.3 (2 điểm)

+   2

1

2017 2018 2017 lim 1 x

x I x 

   

 

  

2

1 2 2017 1 lim 1 2018 2017 x x

x x       1,0