Đề KSCL đội tuyển HSG lớp 11 môn Toán năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11

MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,0 điểm).

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: cos 2sin 3. 2cos sin 4 x x y x x

b) Giải phương trình: cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0 x x x x

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có , , BC a AB c AC b . Biết góc 0 90 BAC và

2 , , 3 a b c theo thứ tự tạo thành cấp số nhân. Tính số đo góc , . B C

Câu 3 (1,0 điểm). Cho n là một số nguyên dương. Gọi 3 3 n a là hệ số của 3 3 n x trong khai triển

thành đa thức của 2 ( 1) ( 2) n n x x . Tìm n sao cho 3 3 26 . n a n

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 . Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự

nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn:

1

1 1

2019

1 2019

n n n n n

u

u u

. Tìm công thức số hạng

tổng quát và tính lim . n u

Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang có

0 2 , , 60 AD a AB BC CD a BAD , SA vuông góc với đáy và 3 SA a . M và I

là hai điểm thỏa mãn 3 0, 4 3 0 MB MS IS ID . Mặt phẳng ( ) AMI cắt SC tại . N

a) Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng ( ). AMI

b) Chứng minh 0 0 90 ; 90 . ANI AMI

c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) AMI và hình chóp . . S ABCD

Câu 7 (1,0 điểm). Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm tam giác , ' BCD G là trung điểm của

. AG Một mặt phẳng ( ) đi qua ' G cắt các cạnh , , AB AC AD lần lượt tại ', ', '. B C D Tính

. ' ' ' AB AC AD AB AC AD

Câu 8 (1,0 điểm). Cho n số 1 2 3 , , ,..., [0;1] n a a a a . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 (1 ... ) 4( ... ). n n a a a a a a a a

-------------Hết----------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI

11 MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2018-2019

Đáp án gồm: 05 trang I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điể

m 1 (2,0 điểm) a.(1,0 điểm).

Gọi 0 y là một giá trị của hàm số cos 2sin 3. 2cos sin 4 x x y x x Khi đó phương trình

0

cos 2sin 3 2cos sin 4 x x y x x phải có nghiệm.

Ta có phương trình

0 0 0 cos 2sin 3 ( 2)sin (1 2 )cos 4 3 (1) 2cos sin 4 x x y y x y x y x x

0,5

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

2 2 2 2 0 0 0 0 0

2 ( 2) (1 2 ) (4 3) 11 24 4 0 2 11

o y y y y y y 0,25

Vậy 2 max 2,min . 11 y y 0,25

b.(1,0 điểm)

Phương trình

2 2 (cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) 0 (cos sin )(cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) 0 (cos sin )(sin cos 1) 0

x x x x x x x x x x x x x x x x

cos sin 0 sin cos 1 0 x x x x

0,5

+) Với cos sin 0 tan 1 4 x x x x k . 0,25

+) Với sin cos 1 0 2 sin(x ) 1 2 ; 2 . 4 2 x x x k x k

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

0,25

2 (1,0 điểm)

Ta có: 2 2 3b ac . Do tam giác ABC vuông ta có 0,25