Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm học 2018 – 2019 sở GD ĐT Hà Tĩnh

1

Câu 1. Xét phương trình: ( )( ) sin os sin 2 3 sin 2 os2 1 0 2sin 2

x c x x x c x

x

− − − − + = − (1)

ĐK

2 2 4 sin ( , ) 3 2 2 4

x k x k l Z x l

π π

π π

≠ +  ≠ ⇔ ∈  ≠ + 

Khi đó phương trình ( )( ) (1) sin os sin 2 3 sin 2 os2 1 0 x c x x x c x ⇔ − − − − + =

( )( )

2 sin os sin 2 3 2sin . 2sin 0 x c x x xcosx x ⇔ − − − + =

( )( ) sin os sin 2 3 2sin (sin ) 0 x c x x x x cosx ⇔ − − + − =

( )( )

sin os 0 (2) sin os sin 2 2sin 3 0 sin 2 2sin 3 0 (3)

x c x x c x x x x x

− =  ⇔ − + − = ⇔ + − = 

PT(2) sin( ) 0 4 4 x x k π π π ⇔ − = ⇔ = + , đối chiếu điều kiện ta có 5 2 ( ) 4 x k k π π = + ∈ℤ.

PT sin2 =1 (3) sin2 +2sin 3 ( ) sin 1

x x x vn x  ⇔ = ⇔ = 

Vậy 5 2 ( ) 4 x k k π π = + ∈ℤ.

5 5 ( 2018 ;2019 ) 2018 2 2019 2018 2 2019 4 4 x k k π π π π π π ∈− ⇔− < + < ⇔− < + <

Do k ∈ℤ nên { 1009, 1008,....,1008} k ∈− − suy ra có 2018 nghiệm.

Câu 1b. Tính ( ) 3 2 2 3 lim 2 1 4 2 3 x x x x x mx →−∞ + + − + + +

Nếu 3 m = − thì ( ) 3 2 2 3 lim 2 1 4 2 3 x x x x x mx →−∞ + + − + + +

( ) 3 2 2 3 lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 ) x x x x x x x →−∞ = + + − − + + +

Ta có ( )

2 3 2 3

3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 1 2 lim 2 1 lim 3 ( 2 1) ( 2 1) x x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ + + + − = = + + + + + +

( ) 2

2

2 3 1 lim 4 2 3 2 lim 2 4 2 3 2 x x x x x x x x x →−∞ →−∞

+ − + + + = = + + −

Suy ra ( ) 3 2 2 3 7 lim 2 1 4 2 3 6 x x x x x mx →−∞ + + − + + + =

Nếu 3 m < − thì ( ) 3 2 2 3 lim 2 1 4 2 3 x x x x x mx →−∞ + + − + + +

( ) 3 2 2 3 lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 ) ( 3) x x x x x x x m x →−∞ = + + − − + + + + + = +∞

Nếu 3 m > − thì ( ) 3 2 2 3 lim 2 1 4 2 3 x x x x x mx →−∞ + + − + + +

( ) 3 2 2 3 lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 ) ( 3) x x x x x x x m x →−∞ = + + − − + + + + + = −∞

Câu 2a. Theo giả thiết ta có

2 1 3 1 2 1 3 1 4 ; 14 4 14

n n n n n n n n

C C C C C C d C C d − − = + = +  =

2 1 3 1 3 2 1 7( ) 2( ) 2 7 5 0 n n n n n n n C C C C C C C ⇔ − = − ⇔ − + =

2

2

11 ( 1)( 2) ( 1) 2 7 5 0 2 27 55 0 5 6 2 ( ) 2

n n n n n n n n n

n L

=  − − −  − + = ⇔ − + = ⇔= 

Với 11 n = , thử lại thỏa mãn cấp số cộng

Ta cần chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 4 22 23 23 23 23 23 46 1 .... 2 C C C C C + + + + =

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 4 1

2 1 .... 2

n n n n n n n C C C C C − + + + + = với n lẻ

Xét khai triển ( )( ) 2 0 1 0 1 1 (1 ) (1 ) ( 1) ... ... n n n n n n n n n n n n n n x x x C C x C x C x C x C − + = + + = + + + + + +

Đồng nhất hệ số của nx của đẳng thức trên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 1 2 3

2 .... n n n n n n n n C C C C C C + + + + = (1)

Do n lẻ và

1 1 0 1 1 2 2 ; ;... ;

n n n n n n n n n n C C C C C C

− + − = = =

nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 0 2 4 1 .... 2 .... n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C − + + + + = + + + +

Thay vào (1) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 4 1

2 1 .... 2

n n n n n n n C C C C C − + + + + = (đpcm

Câu 2b Kiến muốn đi đến B thì bắt buộc phải đi qua D

I

K H

G F

E D

B

C

A

Gọi m là số cách đi từ A đến D Gọi n là số cách đi từ D đến B Gọi k là số cách đi từ D đến B mà không đi qua C

Ta có số cách đi từ A đến B là mn ; số cách đi từ A đến B mà không đi qua C là mk .

Ta có xác suất mà kiến đi được đến B là mk k p mn n = =

Các cách đi từ D đến B mà có đi qua C là: DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy ra số cách đi từ D đến B có mà không đi qua C là 3. Vì tính đối xứng của lưới ô vuông 2x2 nên số cách đi từ D đến B mà không qua C là 3.

Suy ra 3, 6 k n = = . Do đó 1 2 k p n = =

Câu 3a Vì SA SC = nên SO AC ⊥ Vì SB SD = nên SO BD ⊥ Do đó ( ) SO ABCD ⊥

I

P

K

S

A B

C D

M

N O H

Trong tam giác SAC kẻ ( ) MH AC H AC MH SO ⊥ ∈  ( ) MH ABCD  ⊥

Theo giả thiết thì 0 60 MNH =