Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 2019 sở GD ĐT Phú Yên

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: TOÁN Ngày thi: 28/3/2019 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1.(3,50 điểm) Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m:

2 2 2 2 2 x mx m x mx m m       với 0 m  .

Câu 2.(3,50 điểm) Cho bốn số thực , , , p q m n thỏa mãn hệ thức

     2 0 q n p m pn qm      .

Chứng minh rằng hai phương trình 2 0 x px q    và 2 0 x mx n    đều có các nghiệm phân biệt và các nghiệm của chúng nằm xen kẽ nhau khi biểu diễn trên trục số. Câu 3.(4,00 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. a) Chứng minh rằng a.IA2+b.IB2+c.IC2 = abc.

b) Chứng minh rằng       2 2 2 6 a bc IA b ca IB c ab IC abc       .

Hãy chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Câu 4.(4,00 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn 2 2 2 1 x y z   . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2019 P xy yz zx    . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 Q xy yz zx    . Câu 5.(3,00 điểm) Cho dãy số thực   nx thỏa mãn điều kiện

  1

0 1 , 1,2,3,... 1 1 4

n

n n

x n x x 

       

a) Chứng minh rằng 1 1 , 1,2,3,... 2 2 nx n n   

b) Tìm giới hạn của dãy   nx .

Câu 6.(2,00 điểm) Cho hàm số f liên tục trên , thỏa mãn

i)   2020 2019 f  ;

ii)   4 . 1, f x f x x  , trong đó kí hiệu        4( ) f x f f f f x  .

Hãy tính   2018 f .

---------Hết--------- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: …………..…...……….…

Chữ kí giám thị 1: …….………………..…….. Chữ kí giám thị 2: ………………………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Gồm có 5 trang) 1. Hướng dẫn chung - Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. - Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. - Điểm bài thi không làm tròn số. 2. Đáp án và thang điểm CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 Giải và biện luận bất phương trình sau theo m:

2 2 2 2 2 x mx m x mx m m       với 0 m  .

3,50 đ

Điều kiện:

2

2

2

0

0

0 0

mx m

x mx m x m x mx m m

                

(1).

0,50 đ

Đặt 2 2 ; 0 t mx m t    . Thì

2 2 4 4 t m x m   ;

 

2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2

t m t m t m x mx m t m m m

         ;

Và  

2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2

t m t m t m x mx m t m m m

        

1,00 đ

Khi đó bất phương trình đã cho là: 2 2 4 , 0 (2). t m t m m m     

0,50 đ

Vì 0, 0 m t   nên 2 2 t m t m   nên: (2) 2 2 4 2 2 , 0 t m t m m t m m t m         

2 0 0 2 t m t m    

0,50 đ

Nghĩa là 2 2 2 0 2 2 2 2 . mx m m m mx m m x m          Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:   ;2 S m m  .

1,00 đ

2

Cho 4 số thực , , , p q m n thỏa mãn hệ thức      2 0 q n p m pn qm      (1).

Chứng minh rằng 2 phương trình 2 0 x px q    (2) và 2 0 x mx n    (3) đều có các nghiệm phân biệt và các nghiệm của chúng nằm xen kẽ nhau khi biểu diễn trên trục số.

3,50 đ

Từ điều kiện     2 0 q n p m pn qm      suy ra 0 p m   .

0,50 đ