Đề thi chọn HSG lớp 11 môn Toán năm 2018 – 2019 trường THPT Thị xã Quảng Trị

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019 Môn thi: Toán lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (5,0 điểm). 1. Giải phương trình: 2 2 sin 3 cos2 sin 0. x x x   2. Cho 1x và 2x là hai nghiệm của phương trình: 2 3 0 x x a    , 3x và 4x là hai nghiệm của

phương trình: 2 12 0 x x b    . Biết rằng 1 2 3 4 , , , x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm ,a b.

Câu II (3,0 điểm). 1. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 2014 k   . Chứng minh rằng: 0 1 1 5 5 5 2014 5 2014 5 2014 2019 ... k k k k C C C C C C C       . 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

  2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1 m x x x x x           .

Câu III (3,0 điểm).

Cho dãy số   n u được xác định bởi: 1 1 2 sin sin1; n n n u u u n     , với , 2 n n    .

Chứng minh rằng dãy số   n u xác định như trên là một dãy số bị chặn.

Câu IV (3,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân

tại D với 5 2 a DC  .

1. Chứng minh rằng: AD BC  . 2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết góc giữa hai mặt phẳng ( ) ABC và ( ) BCD bằng 0 30 .

Câu V (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với (2;1) A , (1; 2) B  , trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 2 0 x y    . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác

ABC bằng 27 2 .

Câu VI (3,0 điểm). Cho các số dương , , a b c thỏa mãn: 2 2 2 3 a b c    . Chứng minh rằng:

  2

2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 1 1 3 a b c a b b c c a                      . Đẳng thức xảy ra khi nào?

-----------------HẾT---------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………….

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang)

Huớng dẫn chấm – Toán 11 Câu Nội dung Điểm Câu I. (5đ) Giải phương trình: 2 2 sin 3 cos2 sin 0. x x x  

1. (3đ) 2 2 sin 3 cos2 sin 0 x x x   (1) Ta có: sin3 (1 2cos2 )sinx. x x  

2 2

2 2 (1) ((1 2cos2 ) cos2 1)sin 0

(1 os2x)(1+4cos 2 )sin 0

sin 0

cos2x=-1 2

x x x

c x x

x k x 

   

  

     

1.0đ 1.0đ 1.0đ

2. (2đ) Cho 1x và 2x là hai nghiệm của phương trình: 2 3 0 x x a    , 3x và 4x là hai nghiệm của phương trình: 2 12 0 x x b    . Biết rằng 1 2 3 4 , , , x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm ,a b.

Gọi q là công bội của CSN 2 3 2 1 3 1 4 1 ; ; x x q x x q x x q     Theo viet ta có:

1 1 2

1 2 1 2

2 3 4 1

3 4 3 4

(1 ) 3 3

12 (1 ) 12

x q x x x x a x x a

x x x q q x x b x x b

                          

Suy ra 2 4 q  + q = 2 1 1 x   , giải ra được a = 2, b = 32 +q = -2 1 3 x  , giải ra được a = -18, b = -288

1.0đ 1.0đ

Câu II. (3đ)

1. (1.5đ) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 2014 k   Chứng minh rằng: 0 1 1 5 5 5 2014 5 2014 5 2014 2019 ... k k k k C C C C C C C      

Ta có: 5 2014 2019 (1 ) (1 ) (1 ) x x x    

5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5

2014 0 1 2013 2013 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014

2019 0 1 2018 2018 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019

(1 )

(1 ) ... ...

(1 ) ... ...

k k

k k

M x C C x C x C x C x C x

N x C C x C x C x C x

P x C C x C x C x C x

       

        

        

Ta có hệ số của xk trong P là 2019 k C , P = M.N Mà số hạng chứa xk trong M.N là : 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 k k k k k k k k k k k k C C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x                Vậy : 0 1 1 5 5 5 2014 5 2014 5 2014 2019 ... k k k k C C C C C C C      

0.5đ 0.5đ 0.5đ

2. (1.5đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

  2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1 m x x x x x          

ĐK: 1 1 x   , Đặt 2 2 1 1 t x x     , t liên tục trên   1;1  và 0 t 

2 4 2 2 1 2 0; 2 t x t         

Pttt:

2 2 2 ( 2) 2 2 t t m t t t m t      …