Đề thi HSG lớp 11 môn Toán năm 2019 2020 trường THPT Nguyễn Xuân Ôn Nghệ An

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN TOÁN 11 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (6,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) ( )( ) 3sin2 1 2sin 1 sin3 cos2 sinx 0 x x x x + − + − − =

b)

3 2 3 2 20 6 17 5 3 6 3 5

( 3 8) 2 5x 3 5 12

x y x x y y

x y x x y x

 − − − = − − −  + + + = + + 

Câu 2 (5,0 điểm) a) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45.

b) Cho dãy số (uRn

R) xác định bởi ( )

1

3 2 1

2

( 1) 3 2 2 1 , * n n

u

n u u n n n n N n +

=  + = + + + + ∈ 

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (uRn

R).

Câu 3 ( 5,0 điểm) a) Cho tứ diện ABCD, trên hai cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho

1 D 2 AM CN M NB = = . Hai điểm E, F lần lượt thuộc BM và DN sao cho / / EF AC . Tính tỉ số EF AC .

b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với / / AD BC và AD 2BC = . Gọi O là giao điểm của AC và BD, điểm M thay đổi nằm trong hình thang sao cho OM không song song với cạnh nào của hình thang. Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD) và (SDA) lần lượt tại các điểm E, F, G và H.

Chứng minh rằng: 2( ) 4 9 MF ME MG MH SO + + + = .

Câu 4 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có (3; 1) M − là trung điểm cạnh BC, đường thẳng AC đi qua điểm E(1;3). Điểm D(4; 2) − đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm C thuộc đường thẳng d:

2 3 0 x y + − = và có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c 0 ≠

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )

3 3

3 a b ac(a c) bc(b c) 5abc P a b c

+ + − + − − = + +

.

… Hết … Học sinh không được sử dụng tài liệu ……… Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 NĂM HỌC 2019 - 2020

(Đáp án gồm 5 trang) Câu Nội dung Điểm 1a) ( )( ) 3sin2 1 2sin 1 sin3 cos2 sinx 0 x x x x + − + − − = 3.0

Ta có

( )

( )

(1) 3sin2 1 (2sin 1) 2cos2 sin cos2 0

3sin2 1 (2sin 1) cos2 (2sin 1) 0

x x x x x

x x x x

⇔ + − + − =

⇔ + − + − =

1.0

( )( )

2sin 1 0 2sin 1 3sin2 1 cos2 0 3sin2 cos2 1 0

x x x x x x

−=  ⇔ − + + = ⇔ + + = 

0.5

* 2 1 6 2sin 1 0 sinx 5 2 2 6

x k x x k

π π

π π

= +  −= ⇔ = ⇔ = + 

0.5

*

3 1 1 3sin2 cos2 1 0 sin2 cos2 2 2 2

2 2 6 6 6 sin 2 sin 7 6 6 2 2 6 6 2

x x x x

x k x k x x k x k

π π π π π π π π π π π π

+ + = ⇔ + = −

  + = − + = − +       ⇔ + = − ⇔ ⇔             + = + = +    

0.75

Vậy PT đã cho có nghiệm 2 , , , 6 6 2 x k x k x k k π π π π π π = + = − + = + ∈ 0.25

1b)

3 2 3 2 20 6 17 5 3 6 3 5 (1)

( 3 8) 2 5x 3 5 12 (2)

x y x x y y

x y x x y x

 − − − = − − −  + + + = + + 

3.0

ĐK:

2

6 0

5 0

2 5 0

x

y

x x

− ≥ − ≥   + ≥ 

Đặt

2

2 6 6

5 5

a x x a

y b b y

  = − = −   ⇒   = − = −    

Thay vào (1) ta có

2 2

3 3 2 2

2 2

20 17 3(6 ) 3(5 )

3 2 3 2 ( ) 3( ) 2 0

(Do 3( 3 ) 2 0)

a b a a b b

a a b b a b a ab b

a b a ab b

− = − − −

  ⇔ + = + ⇔ − + + + =   ⇔ = + + + >

6 5 1 x y y x − = − ⇔ = − thế vào (2) ta có

1.0

3 2 3 2

3 2 3 2 ( 3 3 8) 2 5 3 5( 1) 12

( 3 5) 2 5 3 5 2 5

x x x x x x x

+ −+ + = + − +

⇔ + + + = + + +

0,25