Đề thi thử HSG tỉnh lớp 11 môn Toán năm 2019 2020 trường Nguyễn Duy Trinh Nghệ An

SỞ GD&ĐTNGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 11- NĂM HỌC 2019-2020

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (7,0 điểm). Giải các phương trình sau:

a) ( ) ( ) 2 2 sin cos 2sin sin 2 3sin 4 3 2 x x x x x + + = + −

b) 2 4 3 12 1 2 5 x x x x x x + + − + − − = −+ +

Câu 2 (7,0 điểm).

a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.

b) Giải hệ phương trình

( )( ) 3 2 3 1 ( , ) 5 3 2 2 2 2

x y x y x y x y xy y

+ = − +  ∈  + − − = − −  



Câu 3 (4,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại C , có phân giác

trong AD với 7 7 ( ; ) 2 2 D − thuộc BC . Gọi E và F lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho

. AE AF = Đường thẳng EF cắt BC tại K . Biết 3 5 ( ; ) 2 2 E − , F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương

trình đường thẳng AK là 2 3 0 x y − − = .Viết phương trình các cạnh của tam giác . ABC

b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 0 d x y − = và đường tròn

( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 4 5 T x y − + + = . Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến , MA MB ( , A B là các

tiếp điểm) và cát tuyến MCD đến đường tròn ( ) T với C nằm giữa M và D ; AB cắt CD tại N .

Tìm tọa độ điểm M biết rằng 1 CD = và 5 9 ND = .

Câu 4 (2,0 điểm). Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn 3 x y z + + = . Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 x y z y z x z x y xyz yz zx xy + + + + + ≥ − − −

----- HẾT -----

Họ và tên thí sinh: ..................................................................... Số báo danh: ........................

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ

Môn: TOÁN Câu Đáp án Điểm 1 (7,0đ) a) (3,5đ) Giải phương trình( ) ( ) 2 2 sin cos 2sin sin 2 3sin 4 3 2 x x x x x + + = + − (1)

(1) 2 1 2sin cos 1 cos 2 3sin 4sin 3sin x x x x x x ⇔+ + − = + − 0,5

( ) ( ) ( ) 2 2 4sin 2sin cos cos 2 3sin 3sin x x x x x x ⇔ − + − = − 1,0

( ) ( ) ( ) 2 1 2sin cos 2sin 1 3sin 2sin 1 x x x x x ⇔ − + − = −

( )( ) 2sin 1 3sin cos 2 0 x x x ⇔ − − + =

2sin 1 0

3sin cos 2 0

x

x x

−=  ⇔ − + = 

1,0

+) 3sin cos 2 0 sin 1 6 x x x π   − + = ⇔ − = −    

2 2 , 6 2 3 x k x k k π π π π π ⇔ − = − + ⇔ = − + ∈.

0,5

+) ( ) 2 1 6 2sin 1 0 sin 5 2 2 6

x k x x k x k

π π

π π

= +  −= ⇔ = ⇔ ∈  = + 

.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

( ) 5 2 , 2 , 2 3 6 6 x k x k x k k π π π π π π = − + = + = + ∈

0,5

b) (3,5đ) Giải phương trình 2 4 3 12 1 2 5 x x x x x x + + − + − − = −+ +

ĐK: 5 3 2 x − ≤ ≤. Đặt

2 2 7 4 3 12 , ( 0) 2 t t x x x x t − = + + − ⇒ − − = > 0,5

Khi đó phương trình trở thành:

2 7 1 2 5 2 t t x x − + = −+ + 1,0

Suy ra tP2

P + 2t = aP2

P + 2a với 2 5, ( 0) ( )( 2) 0 a x a t a t a t a = + ≥ ⇒ − + + = ⇒= 1,0

Với t a = ta có 2 4 3 2 5 12 1 x x x x x x + + − = + ⇔ − − = −⇔ 1 89 4 x + = 1,0

2 (7,0đ)

a) (3,5đ) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần. +TH1: Chữ số 0 xuất hiện 2 lần Có

2 3 C cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0

Có

2 9A cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại

Vậy có

2 2 3 9 . C A số có 4 chữ số thỏa mãn trường hợp này.

1,0

+TH2: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a ở vị trí đầu tiên (vị trí hàng nghìn) Có 9 cách chọn a Có 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho a Có

2 9A cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại

Vậy có

2 9 9.3.A số có 4 chữ số thỏa mãn trường hợp này.

1,0

+TH3: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a không xuất hiện ở vị trí hàng nghìn 1,0