Đề thi Olympic lớp 11 môn Toán năm 2019 2020 trường THPT Mỹ Đức A Hà Nội

Trường THPT Mỹ Đức A

ĐỀ CHÍNH THỨC

--------

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

------------------- oOo -------------------

Họ và tên thí sinh: ………………………………………..….. Số báo danh: ………… Câu 1. (5 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác: 2 2 sin sin5 2cos 2cos 2 4 4 x x x x π π     + = − − +        

.

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 2sin 3sin cos 5cos y x x x x = + + .

Câu 2. (4 điểm)

a) Cho , 2 n n ∈ ≥  hãy tính tổng S sau: ( ) 2 3 4 2.1 3.2 4.3 ... 1 n n n n n S C C C n n C = + + + + − .

b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [ ] 1;20 .

Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3. Câu 3. (5 điểm)

a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác.

b) Cho dãy số ( ) nu được xác định bởi

1

1

1

2 3 , n n n

u

u u n ∗ +

=   = + ∀∈  

.

Tìm công thức của số hạng tổng quát n u theo n .

Câu 4. (5 điểm)

Cho mặt phẳng ( ) α và hai đường thẳng chéo nhau 1 2 , d d cắt ( ) α tại , A B. Gọi ∆ là

đường thẳng thay đổi luôn song song với ( ) α , cắt 1d tại , M cắt 2 d tại . N Đường

thẳng d qua N luôn song song với 1d cắt ( ) α tại N′.

a) Tứ giác AMNN′là hình gì? b) Tìm tập hợp các điểm . N′ c) Gọi O là trung điểm của , AB I là trung điểm của . MN Chứng minh rằng OI là đường

thẳng cố định khi M di động. Câu 5. (1 điểm) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: 1. xyz = Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức H biết:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 . 2 2 2

x y z y z x z x y H y y z z z z x x x x y y

+ + + = + + + + +

------------------- HẾT -------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11 Câu 1

5,0 đ Nội dung Điểm

a) 3,0 đ

sin sin5 1 cos 2 1 cos 4 2 2 PT x x x x π π         ⇔ + = + − + + +                

0,5 đ

sin sin5 sin 2 sin 4 x x x x ⇔ + = + 0,5 đ 2sin3 cos2 2sin3 cos x x x x ⇔ = 0,5 đ

sin3 0

cos2 cos

x

x x

=  ⇔ = 

0,5 đ

3 2 2 2 2

x k x x k x x k

π π π

=   ⇔ = +   = −+ 

0,5 đ

3 2 3 2 3

k x k x k x k x

π

π π π

=   ⇔ = ⇔ =   = 

0,5 đ

b) 2,0 đ

( ) ( )

2 2 2sin 3sin cos 5cos

1 cos2 3 1 cos2 sin 2 5. 2 2 3 3 7 cos2 sin 2 2 2 2

y x x x x

x x x

x x

= + +

+ = − + +

= + +

0,5 đ

3 2 7 cos 2 2 4 2 x π   = − +    

0,5 đ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số : min 7 3 2 2 2 y = − đạt được tại 5 , 8 x k k π π = + ∈ 0,5 đ

Giá trị lớn nhất của hàm số : max 7 3 2 2 2 y = + đạt được tại , 8 x k k π π = + ∈ 0,5 đ

Câu 2

4,0 đ Nội dung Điểm

a) 2,0 đ

Số hạng tổng quát ( )1 k k n u k k C = − 0,5 đ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 2

! 1 ! !

1 2 !

2 ! 2 2 !

1 2

n

k n

n u k k k n k

n n n

k n k

n n C k n − −

= − −

− − = − − − −     = − ≤ ≤

0,5 đ

( )( ) 0 1 3 2 2 2 3 2 1 ... n n n n n S n n C C C C − − − − − = − + + + + 0,5 đ

( ) 2 1 .2n S n n − = − 0,5 đ

b)

2,0 đ Số phần tử của không gian mẫu là: ( ) 3 20 n Ω= 0,25 đ

Đoạn [ ] 1;20 có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư

2.

0,25 đ

Với mọi số tự nhiên n ta luôn có ( )( ) 3 1 1 3 n n n n n − = − +  .

Do đó tổng lập phương của ba số chia hết khi và chỉ khi tổng của ba số đó chia hết cho 3.

0,5 đ

TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có 36 khả năng xảy ra TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có 3 7 khả năng xảy ra. TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có 3 7 khả năng xảy ra. TH4: Cả 3 số được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2: có 6.7.7.3! khả năng xảy ra

0,5 đ

Số kết quả thuận lợi là

3 3 3 6 7 7 6.7.7.3! 2666 + + + = 0,25 đ

Xác suất cần tính là

3 3 3

3 6 7 7 6.7.7.3! 1333 20 4000 P + + + = = 0,25 đ

Câu 3

5,0 đ Nội dung Điểm

a) 2,5 đ

Giả sử bốn góc A, B, C, D ( ) A B C D < < < theo thứ tự lập thành cấp số nhân

với công bội q . Ta có 2

3

B qA

C q A

D q A

=   =   = 

0,5 đ

Ta có hệ 360

8

A B C D

D A

 + + + =  = 



( ) 2 3

3 1 …