Đề HSG lớp 11 môn Toán cấp trường năm 2019 2020 trường Nguyễn Đăng Đạo Bắc Ninh

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học: 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN, LỚP 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm) Cho parabol ( ) 2 : 2 P y x x = − và đường thẳng : 2 d y x m = + . Tìm m để d cắt ( ) P tại hai

điểm phân biệt , A B sao cho tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). Câu 2. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: 3sin 2 cos2 3sin 3 cos 1 0 2cos 3 x x x x x − + − −= +

2) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2

1 1 1 1 1

3 1 2 4 4 2 9 2

x x x y y y

x y y x

 − + = + + +   − = + − − + − 

Câu 3. (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng phương trình 2 4 3 2 2 2 0 m x x m m − − + = luôn có nghiệm với mọi m∈.

2) Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn

1

* 1

1 4 4 , 4 n n

u

u n u +

 =   = ∀∈ −  

. Tính giới hạn ( ) lim n u .

Câu 4. (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ( ) 2;3 A . Các điểm ( ) 6;6 I , ( ) 4;5 J lần lượt là

tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm C. Câu 5. (5,0 điểm)

1) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , AB a AD b = = , cạnh bên SA vuông góc với đáy. a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB và CD. Biết đường thẳng IJ tạo với mặt phẳng ( ) ABCD một

góc 0 60 . Tính độ dài đoạn thẳng SA. b) ( ) α là mặt phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N. Gọi K là giao điểm

của hai đường thẳng AN và BM. Chứng minh rằng biểu thức AB BC T MN SK = − có giá trị không đổi.

2) Cho tứ diện ABCD có 2 , 2 AD BC a AC BD b = = = = , 2 . 4 AB CD c = . Gọi M là điểm di động trong

không gian. Chứng minh rằng biểu thức ( ) ( ) 2 2 2 2 8 H MA MB MC MD a b c = + + + ≥ + + .

Câu 6. (3,0 điểm)

1) Có hai cái hộp đựng tất cả 15 viên bi, các viên bi chỉ có 2 màu đen và trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Biết số bi ở hộp 1 nhiều hơn hộp 2, số bi đen ở hộp 1 nhiều hơn số bi đen ở hộp 2 và

xác suất để lấy được 2 viên đen là 5 28 . Tính xác suất để lấy được 2 viên trắng.

2) Cho các số thực , , x y z thỏa mãn , , 1 x y z ≥ và ( ) 2 2 2 3 2 x y z x y z xy + + = + + + .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )

2

2 2 x x P z x x y x = + + + +

.

………….. Hết…………..

(Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG

Năm học: 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN, LỚP 11

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 2,0

Phương trình hoành độ giáo điểm: ( ) 2 2 2 2 4 0 1 x x x m x x m − = + ⇔ − − =

Đường thẳng d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm phân

biệt 4 0 4 m m ′ ⇔∆= + > ⇔ > −

0,25

Gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ;2 , ;2 A x x m B x x m + + ( 1 2 , x x là các nghiệm của pt(1))

Theo Định lý Vi-et:

1 2

1 2

4 x x x x m + =   = − 

0,5

Vì OAB ∆ vuông tại O . 0 OAOB ⇒ = 

( )( ) 1 2 1 2 2 2 0 x x x m x m ⇒ + + + =

( ) 2 1 2 1 2 5 2 0 x x m x x m ⇒ + + + = 2 0 3 0 3 m m m m =  ⇒ + = ⇒ = − 

0,5

+) Với 0 m = , phương trình (1) trở thành: ( ) 2 0 4 0 0;0 4

x x x A O x

=  − = ⇔ ⇒ ≡ = 

(Loại)

+) Với 3 m = −, phương trình (1) trở thành: ( ) ( )

2 1 1; 1 4 3 0 3 3;3 x A x x x B = ⇒ −  − + = ⇔ = ⇒ 

(t/m)

0,5

Kết luận: Vậy 3 m = − 0,25

Câu 2.1 2,0

Điều kiện: 3 5 cos 2 2 6 x x k π π = − ⇔ ≠± +

0,25

Phương trình tương đương: ( ) ( ) 2 3 cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0 x x x x − + + − =

( ) ( )( ) 3 cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0 x x x x ⇔ − + − + =

( )( ) 2sin 1 3 cos sin 2 0 x x x ⇔ − + + =

0,75

1 sin 2

cos 1 6

x

x π

 =   ⇔    − = −      

( )

2 6 5 2 6 7 2 6

x k

x k k

x k

π π

π π

π π

 = +    ⇔ = + ∈   = + 



0,5