Đề chọn HSG lớp 11 môn Toán vòng 1 năm 2020 2021 trường THPT Trần Nguyên Hãn Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 1

LỚP 11 - NĂM HỌC 2020-2021

Môn: TOÁN Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Họ, tên thí sinh: ……………………………………. Số báo danh: ……………… Câu 1 (6 điểm): Giải các phương trình, bất phương trình sau:

1) 3sin 2x 3 6sin 3 cos 0 x x   

2)

2 3 2 3 2sin ( ) 3 cos (1 3tan ) 2 4 1 2sin 1

x x x

x

   

 

3) 2 2 2 3 x x x     

Câu 2 (2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

2 3sin 2 2cos sin 2 2cos2 4 x x y x x    

Câu 3 (4 điểm):

1) Tính tổng 2 2 2 2 3 2020

1 1 1 S A A A    

2) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 11 đồng thời tổng của 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11. Câu 4 (2 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD, hình chiếu của điểm D lên AB, BC lần lượt là M(-2;2), N(2;-2). Biết rằng đường thẳng DB có phương trình là 3x - 5y + 1 = 0 và hoành độ điểm B lớn hơn 0. Tìm tọa độ điểm B.

Câu 5 (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SA và E là trung điểm của SB; P thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SP.

1) Dựng giao điểm của DB với mặt phẳng (MPE). 2) Gọi N là một điểm thuộc cạnh SB, mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q.

Chứng minh 5 SB SD SN SQ  

Câu 6 (2 điểm): Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3

Chứng minh rằng P = 3 3 3 3 4 a b c ab c bc a ca b      

------------------ Hết ------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên, Chữ kí của cán bộ coi thi:……………………………………………………

ĐÁP ÁP ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 11- LẦN1- NĂM HỌC 2020-2021

Câu Đáp án Điểm 1

1) Biến đổi thành (2sin 1)( 3 cos 3) 0 x x   

giải ta được x= 2 6 k    ; x= 5 2 6 k    ( 3 cos 3 0 x   vô nghiệm)

2)Điều kiện 1 in 2 s x  và cos 0 x  Biến đổi thành

sin(3 ) sinx 3

6

3 2

x

x k

k x



 

 

 

   

  

Đói chiếu đk pt có nghiệm 7 2 , 2 , 6 6 3 x k x k x k             

3)Đk 2 x  Bpt đưa về

2

2

( 2 2) ( 2 1) 0

( 3)( 2) 3 0 2 1 2 2 3

x x x

x x x x x x x

      

            

1 1 1 1 1 1

2

Từ gt ta có ( 3)sin 2 (2 1)cos2 1 4 y x y x y    

Pt trên có nghiệm cho ta 9 6 5 9 6 5 11 11 y     

kết luận GTLN của y bằng 9 6 5 11 

GTNN của y bằng 9 6 5 11 

0,5 1,25 0,25

3

1) Ta có 2 1 1 1 1 ( 1) 1 kA k k k k     

Cho 2,3,...,2020 k   1 1 1 1 1 1 . 2 2 3 2019 2020 S      = 2019

2020

1 1

2) Gọi số cần tìm là abcd

( ) ( ) 11

( ) ( ) 11

a c b d

a c b d

   

  



 suy ra a+c và b+d đều chia hết cho 11

1 Có 2+9=3+8=4+7=5+6 nên có 4.2.3.2=48 số 1

4

Gọi I(x;y) là tâm hình bình hành ABCD, do IM=IN nên x=y có I thuộc BD nên 3x-5y+1=0 từ đó suy ra x=y= 0,5

có IB=ID=IM= 34 2 do đó D,B thuộc đường tròn dường kính BD

có pt là 2 2 1 1 17 ( ) ( ) 2 2 2 x y     (1).

Lại có tọa độ B,D thỏa mãn 3x-5y+1=0 (2) Giải hệ (1),(2) vói hoành độ điểm B lớn hơn 0 ta được B(3;2)

0,75 0,75 0,5

5

1) Gọi O là tâm của đáy ,SO cắt MP tại I,IE cắt DB tại J là điểm càn dựng 2)Ta c/m bổ đề :cho tam giác SAB ,O là trung điểm của AB.Một

đt cắt SA,SO ,SB tại M,N,P CMR 2 SA SB SO SM SP SN   (1)

CM : kẻ AH//MN ,BK//MN ( H,K thuộc SO) ta có

, , SA SH SB SK OH OK SM SN SP SN    (1)

Áp dụng bổ đề trên ta được 2 ( ) SB SD SA SC SO SN SQ SM SP SI     =5

2 1 1

6

1) (1điểm) ta có P= ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c a c b c b c b a c a c b        

( ) ( ) 3 ( )( ) 8 8 4 a a a c a b c a a b a c

       ,tương tự và cộng laị ta được P

2

2

2

9 ( ) 4 8 9 ( ) 1 3 ( ) 4 8 24 4

a b c ab ac bc

a b c a b c

      

       

(Do

2 ( ) 3 a b c ab bc ca      )

Dấu bằng khi a=b=c=1

1 1