Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 11 môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

TOANMATH.com

Đề thi có 01 trang - gồm 05 câu

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 & 11 THPT

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN LỚP 11

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (5,0 điểm)

a. Tìm số nghiệm của phương trình

  3sin cos2 2sin 1 3 2 1 2cos 3

x x x

x

             

trên đoạn   0;2021.

b. Tìm hệ số của 4x trong khai triển biểu thức   3 1 3

n P x x    thành đa thức, biết n là số nguyên dương thỏa

mãn   2 2 2 2 2 3 1 2 3 n n C C C A     .

Câu 2. (4,0 điểm)

a. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình     3 2 1 2 3 3 3 0 x m x m x m        có ba nghiệm phân biệt

lập thành một cấp số cộng.

b. Cho đa thức  f x thỏa mãn 

2

4 lim 5 2 x

f x

x 

   . Tìm     3 2

4 lim

3 2 2 2 ( ) 1 3 x

f x

x f x 



  

.

Câu 3. (2,0 điểm)

Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ xám. Người ta bắt ngẫu nhiên lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi bắt được cả 3 thỏ trắng thì mới dừng lại. Tính xác suất để người đó phải bắt ít nhất 5 lần.

Câu 4. (5,0 điểm)

a. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng   ABC . Gọi M là

trung điểm SB, N là điểm thỏa mãn 2 0 NS NC     

. Tính độ dài SA biết AN vuông góc với CM.

b. Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . Gọi I là trung điểm ' ' B C và M là điểm thuộc cạnh ' ' A C . Biết AM cắt

' A C tại P, ' B M cắt ' A I tại Q. Tìm vị trí điểm M trên cạnh ' ' A C sao cho diện tích tam giác ' A PQ bằng 2

9

diện tích tam giác ' A CI .

Câu 5. (4,0 điểm)

a. Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn 2 2 2 2 1 x y z xyz    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  2 P x x y z    .

b. Cho dãy số   nx thỏa mãn

1 2

2 2 2 1

* 3, 7

, n n n n

x x

x x x x n  

         . Đặt

1

1 n

n

k k y x   . Chứng minh dãy   ny có giới

hạn và tìm giới hạn đó.

_______________ HẾT _______________

https://toanmath.com/

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm./.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .

LỜI GIẢI TOÁN 11

Điều kiện:

2 3 6 cos , , 2 2 6

x k x k l x l

 

 

         

(*).

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

2 3sin cos2 2sin 1 3 2cos 3 3sin 2sin 2 0 2 x x x x x x                 

sin 2 2 6 1 5 sin 2 2 6

x x k

x x k

 

 

              

Đối chiếu điều kiện ta có 5 2 6 x k    

5 5 12121 0 2 2021 6 12 12 k k            0;1;2;...;1010 k  

Vậy phương trình có 1011 nghiệm trên đoạn đã cho

Áp dụng công thức  1 1 , 1 1 1         n k C C C k n k n k n ta có

3 2 3 2

3 2 3 4 3 3

3 2 3 5 4 4

3 2 3 1 1

3 2 3 1

..................

n n n

n n n

C C

C C C

C C C

C C C

C C C

 





 

 

 

 

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được 3 2 2 2 1 2 3 ... . n n C C C C    

Kết hợp giả thiết suy ra     n n n n n A C n n 1 .3 3

1 1 3 2 2

1 3

1           2 n 

10 3 3

1      n n .

Theo công thức Newton ta có

                   

3 2 3 3 10 2 2 2 2 10 2 1 10 0 10 10 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 x x C x x C x x C C x x A

     

10 2 10 10 10 5 2 5 5 10 4 2 4 4 10 3 1 ... 3 1 3 1 x x C x x C x x C        .

Vậy hệ số của 4x là 480 210 270 3. . 4 10 1 1 2 2 10    C C C     3 2 1 2 3 3 3 0 (1) x m x m x m          2 ( 1) 2 3 3 0 x x mx m      

2

1 0

2 3 3 0 (2)

x

x mx m

       

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

1 x  .

 

2 ' 0 3 3 0 2 (*) 1 0 5 5 2 0 m m m f m

                   

Giả sử 1 1 x , còn 2 3 , x x là nghiệm của (2). Ta xét các trường hợp sau: TH1: 2 1 3 , , x x x lập thành một cấp số cộng  2 3 1 2 x x x   2 2 1 …