Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2020 2021 trường Phùng Khắc Khoan Hà Nội

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN-THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN THI: TOÁN 11 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1. (2,5 điểm) Giải phương trình

2 cos2 2sin 4cos x x x = + Câu 2. (4,5 điểm)

a. Giải hệ phương trình :

2 2 2

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

 + + = −  − − = − 

b. Tính giới hạn

2

1

2020(2021 ) 2020 lim 1 x

x I x →

− − = −

Câu 3. (3,0 điểm)

a. Tìm hệ số của

9x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

15 2 3 2x x   −    

b. Cho một đa giác lồi ( ) H có 30 đỉnh 1 2 30 ... A A A . Gọi X là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của ( ) H . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X . Tính xác suất để chọn được 2 tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác ( ) H .

Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số ( ) nu xác định bởi: ( )

1

1

7 2 7 4 2 5

n n

n

u

n u u u



+

 =    +  = + 

a. Gọi ( ) nv là dãy số xác định bởi 2 1

n n

n

u v u

− = + . Chứng minh rằng dãy số ( ) nv là một

cấp số nhân lùi vô hạn.

b. Tính giới hạn của dãy số ( ) n u

Câu 5. (5,0 điểm)

a. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ( )  là mặt phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh , SC SD lần lượt tại , M N ( M khác , S C và N khác , S D . Gọi K là

giao điểm của hai đường thẳng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thức AB BC T MN SK = − có

giá trị không đổi.

b.Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bên đều là hình vuông. Gọi , , M N E lần lượt là trung điểm của các cạnh , ', ' ' AB AA A C . Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ . ' ' ' ABC A B C bởi mặt phẳng ( ) MNE .

Câu 6. (2,0 điểm) ). Cho , , x y z là 3 số thực dương thỏa mãn 2 x y z + + = . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức: 2 2 2 xy yz zx P xy z yz x zx y = + + + + +

------------------ Hết ------------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên học sinh: ………………………………….....… Số báo danh:……………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN - THẠCH THẤT -

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11

NĂM HỌC: 2020-2021

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Câ u

Nội dung Điể m

1 Giải phương trình sau:

2 cos2 2sin 4cos x x x = + 2.5

2 cos2 2sin 4cos x x x = + 2 2

2 2cos 1 2(1 cos ) 4cos

4cos 4cos 3 0

3 cos 2

1 cos 2

x x x

x x

x

x

 −= − +

 − − =

 =  

 = − 

1.5

+ 3 cos 2 x = (vô nghiệm)

+ 1 2 cos 2 , 2 3 x x k k   = −  =  + 

KL: Vậy phương trình có nghiệm 2 2 , 3 x k k   =  + 

1.0

2.a a. Giải hệ phương trình : ( )

( )

2 2 2 1

2 1 2 2 2

xy x y x y

x y y x x y

 + + = −  − − = − 

2.0

ĐK: 1; 0 x y  

( )

2 2 2 1

( ) ( ) ( )( )

( )( 1 ) 0

0

2 1

xy y x y x y

y x y x y x y x y

x y y x y

x y

x y

 + + + = −

 + + + = − +

 + + − + =

+ =  = + 

0.5 0.5

+) 0 x y + = (Loại do 1; 0 x y   ) +) 2 1 x y = + thế vào (2) ta được

(2 1) 2 2 4 2 2

2 ( 1) 2 2

( 1)( 2 2) 0

1

2 2 2

y y y y y y

y y y

y y

y

y y

+ − = + −

 + = +

 + − =

= −   =  = 

+) Với 1( ) y L = − +) Với ( ) 2 5 y x TM =  =

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm ( ) ( ) ; 5;2 x y =

0.5 0.5