Đề thi HSG lớp 11 môn Toán cấp trường năm 2020 2021 trường Liễn Sơn Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (4,0 điểm).

a) Tìm m để hàm số cos 3sin5 4cos5 2 3 x y

x x m 

  

có tập xác định là . 

b) Giải phương trình:

2 3 2

2 cos cos 1 cos2 tan cos x x x x x    

Câu 2 (2,0 điểm). Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối. Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau.

Câu 3 (2,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 4 3 4( 2) n n n n C C n       . Tìm hệ số của 5x

trong khai triển nhị thức Niu – tơn của 2 2 (1 2 ) (1 3 ) . n n P x x x x    

Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số   n u được xác định bởi:

      

* 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , ; 3 1 2 2 n n

n n n u u u n n n n 

             

. Tính 2021 lim 2020

n nu

Câu 5 (2,0 điểm). Giải bất phương trình

2

2 1 2 2 3 1 1. 1 2 1

x x x

x x

       

Câu 6 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ( 5;2) A  . ( 1; 2) M 

là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho   MDC MBC  và MB MC  . Tìm tọa độ điểm D biết  1 tan 2 DAM  .

Câu 7 (4,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và các cạnh bên đều bằng a .

Gọi M là điểm nằm trên SB sao cho 1 3 SM SB   

.

a. Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa CM và song song với . SA Tính theo a diện tích thiết diện tạo

bởi ( ) P và hình chóp . . S ABCD

b. E là một điểm thay đổi trên cạnh AC . Xác định vị trí điểm E để ME vuông góc với . CD Câu 8 (2,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bẳng 1. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

2 2 2 4 4 4 1 2 a b c T a b b c c a abc          

.

-------------Hết----------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020-2021 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 (Dành cho học sinh THPT không chuyên) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 Câu 1 (4,0 điểm).

a) Tìm m để hàm số cos 3sin5 4cos5 2 3 x y

x x m 

  

có tập xác định là . 

b) Giải phương trình:

2 3 2

2 cos cos 1 cos2 tan cos x x x x x    

1a.(2,0 điểm) Hàm số có tập xác định là  khi và chỉ khi

( ) 3sin5 4cos5 2 3 0, . f x x x m x       0,5

Ta có: 3 4 2 3 ( ) 0, sin5 cos5 , . 5 5 5 m f x x x x x          0,5

2 3 sin(5 ) , 5 m x x       với

3 cos 5 4 sin 5





     

0,5

Do 1 sin(5 ) 1, x x      nên 2 3 ( ) 0, 1 1. 5 m f x x m       

Vậy 1. m 

0,5

1b.(2,0 điểm)

Điều kiện:   2 x l l     

Suy ra 2 2 (1) cos2 tan 1 cos (1 tan ) x x x x     

0,5

2

cos 1 cos2 cos 2cos cos 1 0 1 cos 2

x x x x x

x

          

0,5

  cos 1 2 x x k k       0,5

  1 cos 2 2 3 x x k k       

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm 2 x k     ,

  2 3 x k k     

0,5

(Đáp án có 06 trang)