Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: Toán lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 18/3/2021 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (6,0 điểm).

a) Giải phương trình sin4 cos 1 sin3 2 cos 2 4 x x x x           

.

b) Giải hệ phương trình       2 2 1 1 2

, 8 8 8

y x y x y y x

x y x y y x

          

    

.

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Giả sử   

2 0 1 2 1 3 ... n n n P x x a a x a x a x        , với * n .

Biết rằng   2 3 405 1 a a n    , tính giá trị của 6a .

b) Cho tập hợp   0;1;2;3;4;5;6;7 A  . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 8 chữ số

đôi một khác nhau lấy từ A. Tính xác suất để lấy được số tự nhiên mà tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho dãy số   n u được xác định bởi  

1

1

2021

2021 1 n n

u

u u n 

     

.

Đặt

1 2 2 1 2 3 3 2 1 1

1 1 1 ... n

n n n n S

u u u u u u u u u u u u               

. Tính lim . n S

Câu 4 (6,0 điểm). Cho hình chóp tam giác .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng   ABC . Gọi M là trung điểm của AB , H là

hình chiếu vuông góc của C lên SB và góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng

  HCM bằng 0 60 .

a) Tính diện tích tam giác HCM . b) Tính sin của góc tạo bởi MH và SC .

Câu 5 (2,0 điểm). Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn a b  và 1 2 2 ab b a    . Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức    2 2

2 1 1 a b P a ab

    .

---------------------Hết---------------------

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………………....................... Số báo danh: …………..........................

Chữ kí giám thị số 1:………………................................……Chữ kí giám thị số 2:…......................……………………....

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 11 THPT

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Chú ý: Những cách giải khác HDC mà đúng thì cho điểm theo thang điểm đã định. Câu Nội dung Điểm 1 (6,0 đ) a) Giải phương trình sin4 cos 1 sin3 2 cos 2 4 x x x x           

PT sin4 cos 1 sin3 cos2 sin2 x x x x x      0,5

  2 2sin3 cos sin3 cos 1 2cos 1 0 x x x x x       0,5

 

2 sin3 2cos 1 cos 2cos 0 x x x x      0,5

   2cos 1 sin3 cos 0 x x x     0,5

Với 1 cos 2 , 2 3 x x k k        0,5

Với 8 2 sin3 cos sin3 sin , 2

4

x k x x x x k x k

  

 

                  

0,5

b)     

 2 2 1 1 2 1

8 8 8 2

y x y x y y x

x y y x

        

    

Điều kiện 2 0, 0, 8 0 x y y x    

Phương trình      1 1 1 1 1 y x y x y y y x y          

     1 1 1 1 0 y x y x y y         

0,5

      1 1 1 1 0 1 1

y x y x y y

x y y

           

0,5

   1 1 1 1 0 1 1 y x y

x y y

                

1 0 1 1 1 y y x y y x              

(do 1 1 0 1 1 x y y     

)

0,5

Với 1 y  thế vào  2 ta được:

2

2 2

8 3 8 8 3 3 9 48 64 8

x x x x x x x

              

0,5