Đề thi HSG lớp 11 môn Toán lần 2 năm 2020 2021 trường THPT Đồng Đậu Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Đề thi có 02 trang

ĐỀ THI HSG LẦN 2 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021

MÔN TOÁN 11

Thời gian làm bài:180 phút,không kể thời gian phát đề

Câu 1( 2,0 điểm). Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin(

ଽగ

ଶ – x) – 5 = 0

Câu 2( 2,0 điểm). Với n là số nguyên dương thỏa mãn: 𝐶௡

ଶ+ 𝐴௡

ଷ= 765. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: (𝑥ଷ+

ଶ

௫మ)௡

Câu 3( 2,0 điểm). Cho dãy số (un) xác định như sau: 1

2 n 1 n n

u 2012

(n N*) u 2012u u 

      

Tìm 1 2 3 n

2 3 4 n 1

u u u u lim( ... ). u u u u     

Câu 4 ( 2,0 điểm). Giải hệ phương trình

3 2

2 x x (2 y) x y(2x 1) 0. 2x 3xy 5 0

           

Câu 5 ( 2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC. Mặt phẳng   đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D) và song song với đường thẳng

SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  biết MD = x. Tìm x để diện

tích thiết diện lớn nhất.

Câu 6 ( 2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh   3;1 A , đỉnh

C nằm trên đường thẳng     : 2 5 0 x y . Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho  CE CD , biết    6; 2 N là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình

chữ nhật ABCD.

Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các đoạn thẳng AD’ và C’D lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm của hình bình hành ABB’A’ và trung

điểm của cạnh BC. Tính tỷ số ' MN A C .

Câu 8 (2,0 điểm). Cho dãy số {1; 2; 3;…; 2019} có bao nhiêu cách chọn ba số a,b,c khác nhau từ dãy số để ba số đó lập thành cấp số cộng.

Câu 9 (2,0 điểm). Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước 4 4 m x m, bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ). Quá trình vẽ và tô theo qui luật đó được lặp lại 5 lần. Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ công đó hoàn thành trang trí hình vuông như trên?. Biết tiền nước sơn để sơn 2 1m là 50.000đ.

Câu 10 (2,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 1 abc . Chứng minh bất đẳng thức

3 3 3

2 2 2 2 2 2

9 2 ab bc ca a b c a b b c c a          .

---------------------Hết------------------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU

Có 04 trang

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN 1 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN 10

Câu Nội dung đáp án Điểm Câu 1 Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin(

ଽగ

ଶ – x) – 5 = 0 2,0 điểm Phương trình đã cho tương đương với 3cos2x + 2cosx – 5 = 0 0,5 ⇔6cos2x + 2cosx – 8 = 0 0,5

⇔ ቞

𝑐𝑜𝑠𝑥= 1 𝑐𝑜𝑠𝑥=

ିସ

ଷ (𝑙) 0,5

cosx = 1 ⇔ x = k2𝜋 , k ∈ Z Phhương trình có một họnghiệm

0,5

Câu 2 Với n là số nguyên dương thỏa mãn: 𝐶௡

ଶ+ 𝐴௡

ଷ= 765. Tìm số hạng không chứa x ttrong khai triển: (𝑥ଷ+

ଶ

௫మ)௡

2,0 điểm

Ta có: 𝐶௡

ଶ+ 𝐴௡

ଷ= 765 ⇔n = 10 0,75 Xét số hạng Tk+1 = 𝐶௡

௞(𝑥ଷ)ଵ଴ି௞(

ଶ

௫మ)௞ = 𝐶௡

௞2௞𝑥ଵ଴ି௞ 0,25

Khai triển không chứa x ứng với 30 – 5k = 0 ⇔k = 6 0,5 Sốhạng cần tìm T7 = 𝐶ଵ଴

଺2଺ 0,5 Câu 3

Cho dãy số (un) xác định như sau:

1

2 n 1 n n

u 2012

(n N*) u 2012u u 

      

Tìm 1 2 3 n

2 3 4 n 1

u u u u lim( ... ). u u u u     

2,0 điểm

Ta có : 2 n 1 n n u u 2012u 0 n     . Suy ra dãy (un )tăng. 0,25

- Giả sử có giới hạn là a thì : 2 a 2012a a a 0 2012      (vô lý) nên limun = 

0,75

- ta có :

2 n n n 1 n

n 1 n 1 n n 1 n n n 1

u u (u u ) 1 1 1 ( ) u u u 2012u u 2012 u u



   

    

0,5

Vậy : 2 n 1 n 1

1 1 1 1 S .lim( ) 2012 u u 2012      .

0,5

Câu 4

Giải hệ phương trình

3 2

2 x x (2 y) x y(2x 1) 0. 2x 3xy 5 0

           

2,0 điểm

Từ 3 2 2 x x (2 y) x y(2x 1) 0 (x y)(x 1) 0           0,75

TH1: x = y thế vào pt : 2 5x 5 0 x …