Đề học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 môn Toán chuyên năm 2020 2021 sở GD ĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN lớp 11 CHUYÊN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/3/2021

(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình sau trên tập số thực .

 

2 3 2

4 2

1

2 1 1

x x y xy xy y

x y xy x

           

Câu 2 (6 điểm). ho số   n u c nh i

1

2 * 1 2 2, n n n

u m

u u u n 

       

a) Khi 3 2 m  , ch ng minh số c gi i h n h u h n v tìm gi i h n

c nh t t cả c c gi tr c a m số   n u c gi i h n h u h n.

Câu 3 (2 điểm). Tìm t t cả các h m số : f  thỏa m n iều kiện:

   1 1 , , f x f y yf f x x y            .

Câu 4 (5 điểm). ho ường tròn tâm O ường kính AB . L i m H trên o n thẳng

AB ( H không trùng , , A O B) Đường thẳng qua H vuông g c v i AB cắt ường tròn  O t i C Đường tròn ường kính CH cắt , AC BC và  O lần lượt t i , D E và F .

a) h ng minh rằng các ường thẳng , AB DE và CF ồng qu

b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt  O t i P và Q h ng minh rằng bốn

i m , , , P D E Q thẳng h ng

Câu 5 (2 điểm). ho 167 tập hợp 1 2 167 , , , A A A  có tính ch t:

i) 6 2 1 1 7 2004; A A A    

ii) . i j i j A A A A   v i , 1,2, ,167 i j   và i j .

Hãy:

a h ng minh rằng | | 12 iA  v i 1,2,...,167. i 

b) Tính

167

1 . i i A 

--------------------Hết---------------------

Họ v tên thí sinh: …………………………………… Số o anh: …………………… h kí gi m th số 1:……………………… h kí gi m th số 2:…………………………

ĐỀ THI HÍNH THỨ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 11 CHUYÊN

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Chú ý: Nh ng c ch giải kh c HD m úng thì cho i m theo thang i m nh Câu Nội dung Điểm 1 (5đ) 

   

 

2 2

2 2

1 1

1

x y xy x y xy

x y xy

       

   

1.0

Đặt

2 a x y b xy

   

. Hệ tr th nh:  2

1 * 1

a ab b

a b

       

   2 3 2

2 2

2 0 2 0 * 1 1

a a a a a a

b a b a

                  

Từ ta c :         ; 0;1 ; 1;0 ; 2; 3 a b   

1.0

V i     ; 0;1 a b  ta c hệ:

2 0 1 1 x y x y xy

        

1.0

V i     ; 1;0 a b  ta c hệ:        

2 1 ; 0; 1 ; 1;0 ; 1;0 0 x y x y xy

         

1.0

V i     ; 2; 3 a b   ta c hệ:

2 2 3 x y xy

     

   2 3

3 3

1; 3 1 3 0 2 3 0

y y x x y x

x x x x x

                       

Kết luận: Hệ phương trình c c c nghiệm:

          ; 1;1 ; 0; 1 ; 1;0 ; 1;0 ; 1;3 x y    

1.0

2 (6 đ)

a) Bằng quy n p, ch ng minh ược   1;2 nu   1 1.0

Xét    2 2 2, 1;2 f x x x x        ' 2 2 0, 1;2 f x x x     0.5

Có 2 2 1 1 1 5 2 2 4 u u u u      . Suy ra   n u là dãy giảm  2 1.0

Từ  1 , 2 suy ra   :lim 0 2 n L u L L     .

Chuy n qua gi i h n, ược: 2 1 ( / ) 2 2 2 ( ) L t m L L L L l        

1.0

Vậy lim 1 nu . 0.5

b) Xét 

2 2 2 f x x x     ' 2 2 0 1 f x x x     

 1

2 x f x x x

    

0.5