Đề Olympic 30 tháng 4 lớp 11 môn Toán năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021

Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN – KHỐI: 11

THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang

Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. (4,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương có tổng bằng 2. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . a b b c c a a b c          

Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số :(0; ) (0; ) f   thỏa mãn điều kiện

( ( )) 1 y f x f y xf f x               

với mọi , (0; ). x y 

Câu 3. (4,0 điểm)

a. Cho , m n là các số nguyên dương sao cho 2m n  là ước dương của 1. n

Chứng minh rằng phương trình 2 2 ( ) m m n x y x y    có nghiệm nguyên dương.

b. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho phương trình 304 304 ( )n x y x y    có nghiệm nguyên dương? Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn ( ). O Gọi , , A B C    là chân đường cao hạ từ các đỉnh , , . A B C Một đường tròn qua , B C   tiếp xúc với cung

nhỏ  BC của ( ) O tại 1. A Các điểm 1 1 , B C xác định tương tự.

a. Chứng minh rằng 1

1

cot . cot A B B A C C 

b. Vẽ các hình bình hành 1 1 , . B ABX C ACY Chứng minh rằng các điểm 1 , , X Y A

và 0A thuộc một đường tròn với 0 AA là đường kính của ( ). O

c. Vẽ các hình bình hành 1 2 1 2 1 2 , , . BACA CB AB AC BC Chứng minh rằng đường tròn

ngoại tiếp tam giác 2 2 2 A B C đi qua trực tâm của tam giác . ABC

Câu 5. (4,0 điểm) Bộ hai số nguyên khác không   ,x y được gọi là “bộ số đẹp” nếu x là số lẻ,

y là số chẵn, ,x y nguyên tố cùng nhau và 2 2 x y  là số chính phương.

a. Chứng minh rằng   ,x y là “bộ số đẹp” khi và chỉ khi tồn tại 2 số nguyên ,u v

khác 0 và khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau sao cho    2 2 , ,2 . x y u v uv  

b. Với mỗi “bộ số đẹp”   ,x y ta có thể tạo ra 1 “bộ số đẹp” mới bởi 1 trong 2 phép

biến đổi: hoặc đổi dấu của 1 trong 2 số hoặc cộng 1 số nguyên k nào đó vào cả 2 số sao cho   , x k y k   là “bộ số đẹp”. Chứng minh rằng với bất kỳ 2 bộ số đẹp   ,x y

và   ,z t cho trước ta luôn có thể biến đổi từ   ,x y thành   ,z t sau hữu hạn các

bước biến đổi như trên.

HẾT Họ tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ................................ Trường: ................................................................................. Tỉnh/TP: .........................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐÁP ÁN

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021

Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN 11 - THỜI GIAN: 180 phút

Hình thức làm bài: Tự luận

Đáp án có 06 trang Nội dung Điểm

Bài

1

Cho , , a b c là các số thực dương thay đổi có tổng bằng 2. Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . a b b c c a a b c           4

Cách 1: Xét   , u a b  

,   , v b c  

,   , w c a  

.

    , 2;2 u v w a b c a b c            

Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 u v w u v w a b b c c a                 

.

Cách 2: Ta có  

2

2 2 2 2 2 2

a b a b a b a b        .

Tương tự cho các số hạng còn lại, ta được

  2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c          .

2

Do bất đẳng thức đối xứng nên ta có thể giả sử   min , , a a b c  .

Ta có

2 2 2 2 2 2 4 2 a a a b ab b a b b         .

2 2 2 2 2 2 4 2 a a a c ac c a c c        .

2 2 2 2 2 b c a b c     . Cộng vế với vế, ta được

2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c a b c           

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c           .

2