Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2020 2021 trường THPT Minh Châu Hưng Yên

TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN - Lớp 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2 điểm)

a) Giải phương trình: sin3 3 cos3 2sin 2 x x x   .

b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình   cos2 7cos 3 sin 2 7sin 8 x x x x     trên đoạn   2 ;2   

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm số hạng chứa 3 x trong khai triển

9 1 . 2 x x       

b) Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1

phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh có năng lực

trung bình đã làm đúng được 25 câu( từ câu 1 đến câu 25), các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải

nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn

hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm( làm tròn đến hàng phần nghìn).

Câu 3:(1 điểm) Tìm tất cả các số thực x để ba số , 2 , 4 x x  theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Câu 4: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:

a)   1 1 lim 16 4 16 3 n n n n I       b)

 

2 3

1

2 7 1 lim

2 1 x

x x x J

x 

    



Câu 5: (1,5 điểm)

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A ,

3 SA a  , 2 SB a  . Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho 2 AM MD  . Gọi  P là mặt phẳng qua M và

song song với   SAB .

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD.

b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P .

Câu 6: (1,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình

2 2 4 8 17 1

21 1 2 4 3

x x x y y

x y y y x

       

     

.

b) Cho dãy số   nu được xác định như sau

1 *

1

4

, . 9 4 4 1 2 n n n

u

n u u u 

        



Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số   nu và tính lim nu

----------------- Hết ---------------- (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:...............................................

Số báo danh:……………….. Phòng thi số:………

Chữ ký của giám thị:………………………

Câu 1:

a) Giải phương trình sau sin3 3 cos3 2sin 2 x x x   .

Ta có : 1 3 sin3 3 cos3 2sin 2 sin3 cos3 sin 2 2 2 x x x x x x      (0.25)

3 2 2 3 sin 3 sin 2 3 3 2 2 3

x x k x x

x x k

  

  

                    

  2 3 2 2 15 5

x k

k k x

 

 

        



(0.5)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 2 2 2 ; 3 15 5 k S k k               . (0.25)

b) Ta có:

    cos 2 7 cos 3 sin 2 7sin 8 cos 2 3 sin 2 7 cos 3 sin 8 0 x x x x x x x x          

2 cos 2 7sin 4 0 2sin 7sin 3 0 3 6 6 6 x x x x                                        

(0.25)

1 sin 6 2

sin 3( ) 6

x

x VN





                     

(0.25)

Ta có:

2 2 1 6 6 sin 2 5 6 2 2 2 3 6 6

x k x k x x k x k

         

                         

(0.25)

Vì   4 2 2 ;2 2 ; ;0; ;2 3 3 x x                

. (0.25)

Câu 2:

Câu 030. Tìm số hạng chứa 3 x trong khai triển

9 1 . 2 x x       

B1.X.T0

Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

9 9

9 9 0

9

9 2 9 0

1 1 . . 0.25 2 2

1 . . . 0.25 2

k k k

k

k k k

k

x C x x x

C x









             

      





Hệ số của 3 x ứng với 9 2 3 3 0.25 k k    

Vậy số hạng cần tìm 3 3 9 1 . 8C x 0.25

b) Gọi x là số câu học sinh đó trả lời đúng trong 25 câu còn lại. Số điểm học sinh đó đạt được là 5 0,2x  . (0.25)

TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN – Khối 11