Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2021 2022 trường THPT chuyên Bắc Ninh

—————————– Trường Thpt Chuyên Bắc Ninh ĐỀCHÍNH THỨC (Đềthi gồm 2 trang)

ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN LỚP 11 Thời gian: 180 phút (không kểthời gian phát đề)

Câu 1: (2 điểm)

a) Cho m > 1 là một sốnguyên. Chứng minh rằng với mọi sốnguyên n có thểbiểu diễn dưới dạng n = a + b, trong đó a là một sốnguyên nguyên tốcùng nhau với m và b là một số nguyên sao cho b2 ≡b( mod m).

b) Tìm tất cảcác nghiệm của phương trình cos 2x + 7 cos x − √

3(sin 2x −7 sin x) = 8 trên đoạn [−2π; 2π].

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho các sốthực a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 < c < b < a ≤3, 2ab ≤2a+3b, 3abc ≤ab+3bc+2ca. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 ≤36.

b) Đềthi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trảlời và chỉcó 1 phương án đúng, mỗi câu trảlời đúng được cộng 0, 2 điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh có năng lực trung bình đã làm đúng được 25 câu( từcâu 1 đến câu 25), các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả25 câu còn lại. Tính xác suất đểđiểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm (làm tròn đến hàng phần nghìn).

Câu 3: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABM; điểm D(7; −2) nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD. Viết phương trình đường thẳng AB, biết hoành độcủa A nhỏhơn 4 và AG có phương trình 3x −y −13 = 0. Câu 4: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) I = lim p

16n+1 + 4n − p

16n+1 + 3n

b) J = lim x→1

√

x2 + x + 2 − 3√7x + 1 √

2 (x −1)

Câu 5: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A, SA = a √

3, SB = 2a. Điểm M nằm trên AD sao cho AM = 2MD. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với (SAB).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD.

b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bới mặt phẳng (P).

Trang 1/ 2

Câu 6: (1,5 điểm)

a) Giải hệphương trình x + 4 + √

x2 + 8x + 17 = y + p

y2 + 1 x + √y + √y + 21 + 1 = 2√4y −3x

b) Cho dãy số(un) được xác định như sau u1 = 4 9un+1 = un + 4 + 4√1 + 2un , n ∈N∗.

Tìm công thức sốhạng tổng quát của dãy số(un) và tính lim un

—————HẾT————— Giám thịcoi thi không giải thích gì thêm

Trang 2/ 2