Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm 2022 2023 sở GD ĐT Hà Nam

1

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 – 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I. HƯỚNG DẪN CHUNG

o Hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. o Đối với bài toán hình học nếu học sinh chứng minh có sử dụng đến hình vẽ thì yêu cầu phải vẽ hình, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng. o Điểm toàn bài không làm tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Sơ lược lời giải Điểm

I (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x π   − = −    

. 2,0

Điều kiện: , 2 x k k π π ≠ + ∈.

Phương trình 2 1 2sin cos 2sin tan x x x x ⇔− = −

( ) sin 2sin sin cos 1 0 cos x x x x x   ⇔ + − + =    

0,5

( )( ) sin cos sin 2 1 0 x x x ⇒ + − =

sin cos 0 sin 2 1 x x x + =  ⇔ = 

0,5

+) sin cos 0 sin 0 , 4 4 x x x x m m π π π   + = ⇔ + = ⇔ = − + ∈      (thỏa mãn). 0,5

+) sin 2 1 , 4 x x n n π π = ⇔ = + ∈ (thỏa mãn).

Kết hợp, suy ra , 4 2 x l l π π = + ∈.

0,5

2. Cho hàm số bậc hai ( ) 2 2 3 1 f x x x = − −. Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để phương trình ( ) 5sin 2 3 1 f x m − = có đúng 5 nghiệm phân biệt trên đoạn

3 ; 4 2 π π      

.

2,0

+) ( )

2 1 1 2 3 2 0 2 2

x f x x x x

= −  = ⇔ − − = ⇔= 

+) ( )

( )

( )

6 1 1 sin 2 1 5sin 2 3 10 5sin 2 3 1 2 3 2 5sin 2 3 2 sin 2 2 5

m x x m f x m m x m x

−  =   − = −  − = ⇔ ⇔  +  − = =  

0,5

2

Câu Sơ lược lời giải Điểm

Bảng biến thiên của hàm số ( ) sin 2 g x x = trên 3 ; 4 2 π π      

0,5

Phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm khi:

TH1: ( ) 1 có 2 nghiệm và ( ) 2 có 3 nghiệm

6 1 1 0 10 3 2 0 1 5

m

m

− −< <  ⇔ + ≤ <  3 1 2 1 2 6 2 3 6 1 3

m m m

− < <  ⇔ ⇔− ≤ <  − ≤ < 

.

0,5

TH2: ( ) 1 có 3 nghiệm và ( ) 2 có 2 nghiệm

6 1 0 10 3 2 1 5

m

m

−  ≥  +  = 

1 6 1

m

m

 ≥  ⇔  = 

1 m ⇔ = .

Vậy { } 2 1 ; 1 3 6 m   ∈− ∪   

.

0,5

II (6,0 điểm)

1. Cho đa giác đều có 2n đỉnh,( ) 2, n n ≥ ∈. Biết rằng, từ 2n đỉnh của đa giác

đều đã cho ta lập được 2520 tam giác vuông. Tìm số cạnh của đa giác đều đã cho.

1,5

Đa giác đều có 2n ,( ) 2, n n ≥ ∈ đỉnh luôn nội tiếp đường tròn và có n đường

chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp. 0,5

Số tam giác vuông lập được từ 2n đỉnh của đa giác đều là: 1 1 2 2 . n n C C − (tam giác).

Từ giả thiết, suy ra 1 1 2 2 . 2520 n n C C −=

0,5

2 1260 0 36 n n n ⇔ − − = ⇒ = . Vậy đa giác đều đã cho có 72 đỉnh nên có 72 (cạnh). 0,5

2. Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

[ ] 1;22 . Tính xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3. 2,5

+) Xét phép thử ngẫu nhiên: :"Ba bạn A, B, C viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [ ] 1;22 ".

( ) 3 22 n ⇒ Ω= .

0,5

+) Gọi biến cố X: "Ba số viết ra có tổng chia hết cho 3" Nhận xét: Phân 22 số tự nhiên thuộc đoạn [ ] 1;22 thành ba nhóm: Nhóm X1: Gồm 7 số tự nhiên chia hết cho 3. Nhóm X2: Gồm 8 số tự nhiên chia cho 3 dư 1. Nhóm X3: Gồm 7 số tự nhiên chia cho 3 sư 2.

0,5