Đề thi học kì 2 (HK2) lớp 11 môn Toán năm 2018 2019 trường Phổ thông Năng khiếu TP HCM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

--------------------------------------

KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019

MÔN THI : TOÁN KHỐI 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Ngày thi : Thứ Hai 02/5/2019 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề

---------------------------------------------- Bài 1. (1,5đ) Tính các giới hạn sau:

a)   2 lim 9 12 3 x x x x    . b)

2

2 3

3 7 4( 3) lim . ( 3) x

x x x x  

    

Bài 2. (1đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

2 (1 2 ) 1 2 . y x x x    

2 2 ) cos (1 2 ). b y x  

Bài 3. (1đ) Chứng minh phương trình

2 3 3 2 (m 2 3)( 3 4) 0 m x x m x       có ít nhất một nghiệm

với mọi số thực m.

Bài 4. (1đ) Tìm m để hàm số

2 2 , 2 0 ( )

2 , 0 2

x x khi x y f x x m x khi x

         

    

liên tục trên [ 2;2]  .

Bài 5. (1,5đ) Cho hàm số 2 1 ( ) 1

x y f x x    

(C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng 2 1 y x  .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

3 1 0 x y   .

Bài 6. (4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a, , SA ⊥

(𝐴𝐵𝐶𝐷), 3 SA a  . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).

a) Chứng minh BD (SAC) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).

HẾT

Đáp án và cho điểm

Bài 1 Tìm giới hạn

a)

b)

  2

2

2

12 lim 9 12 3 lim

9 12 3

12 lim 12 9 3

2

x x

x

x x x x

x x x

x

 



          

 

    

       

2 2

2 3 3

2 3

3 7 4( 3) 4 7 lim lim 3) ( 3) (

3 lim 4 7 3 4

x x

x

x x x x x x x

x

 



 



          

 



Bài 2

Tính đạo hàm hàm số

 

2

2 2

2

2

2 2

2 2

(1 2 ) 1 2 .

y' (1 2 )' 1 2 (1 2 ) 1 2

1 4 2 1 2 (1 2 )

2 1 2 16 10 3 4(1 2 ) (1 2 )(1 4 )

2 1 2 2 1 2

y x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x x x

x x x x

   

       

     

 

             

'

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

) cos (1 2 )

2cos(1 2 ).sin(1 2 ). (1 2 )'

= 8 cos(1 2 ).sin(1 2 ).

4 .sin(2 4 ).

b y x

x x x

x x x

x x

 

         

 

y' 2cos(12x ).cos(12x )'

Bài 3 Chứng minh rằng phương trình

2 3 3 2 (m 2 3)( 3 4) 0 m x x m x       (1) có ít nhất

một nghiệm với mọi số thực m.

Đặt

2 3 3 2 ( ) (m 2 3)( 3 4) f x m x x m x       .

Hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên R

Hàm số ( ) f x liên tục trên [-1;1]

2

3 2 2 (1) 0

( 1) ( 8) ( 2 3) 0

f m

f m m m

         

1 1

( 1). (1) 0, [ 1;1] sao cho ( ) 0. f f m x f x       

Vậy pt (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.

Bài 4

(1đ) Tìm m để hàm số

2 2 , 2 0 ( )

2 , 0 2

x x khi x y f x x m x khi x

         

    

liên tục trên [ 2;2]  .

0 0 0

0

2 2 2 1 lim ( ) lim lim

2 2 2

lim( 2 )

(0)

x x x

x

x x f x x x x

m x m

f m

  



  



          

 



Hàm số liên tục trên [ 2;2]  khi và chỉ khi

0 0 lim ( ) lim( ( ) (0)

1 2

x x f x f x f

m

     

  

Bài 5

Cho hàm số 2 1 ( ) 1

x y f x x    

có đồ thị (C).

a)Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng 2 1 y x   .

2 3 ' '( ) (1 ) y f x x   

.

Pthđ giao điểm :

1 2 1 2 1; ( 1) 2 1 0

x x x x x x

          

1 1 4 0; '( ) 2 2 3 0 1; '(0) 3

x y f

x y f

           