Đề kiểm tra chất lượng lớp 11 môn Toán cuối năm học 2019 2020 sở GD ĐT Bắc Ninh

SỞGDĐT BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG

(Đềcó 01 trang)

ĐỀKIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: Toán - Lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút, không kểthời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm)

Tính các giới hạn sau đây:

a) lim x →3 (x3 −2x + 1) .

b) lim x →2 x2 −10x + 16

x −2 .

c) lim 2n2 + n −1

5 −n .

Câu 2 (2,5 điểm)

Cho hàm sốy = 2x2 −3x + 1 có đồthịlà parabol (P).

a) Tính đạo hàm y′ của hàm sốđã cho và giải phương trình y′ = 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm có hoành độx0 = −1.

Câu 3 (3,5 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữnhật, AB = a, AD = a √

2, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a √

3 (với a > 0). Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng SB, SD sao cho AM vuông góc với SB và AN vuông góc với SD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và H là trung điểm của đoạn thẳng SC.

a) Chứng minh rằng đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (SAD) và đường thẳng AN vuông góc với mặt phẳng (SCD) .

b) Gọi góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SCD) là ϕ. Tính sin ϕ.

c) Tính độdài đoạn thẳng IH theo a.

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho các sốthực a, b, c thỏa mãn điều kiện 7a + b + 3c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 2020. cos πx

2

có ít nhất một nghiệm trên R.

- - - - - - Hết - - - - - -

SỞGDĐT BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG

(Hướng dẫn có 02 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: Toán - Lớp 11

Câu Lời giải Điểm

1.a 1,0

lim x→3 x3 −2x + 1 = 33 −2.3 + 1 = 22 1,0

1.b 1,0

lim x→2 x2 −10x + 16

x −2 = lim x→2 (x −2)(x −8)

x −2 = lim x→2(x −8) = −6 1,0

1.c 1,0

lim 2n2 + n −1

5 −n = lim n2 2 + 1

n −1

n2

n 5

n −1 = lim



 n · 2 + 1

n −1

n2 5 n −1



 = −∞ 1,0

2.a 1,5

Ta có y′ = 4x −3, ∀x ∈R. 1,0

Vậy y′ = 0 ⇔4x −3 = 0 ⇔x = 3

4. 0,5

2.b 1,0

Tung độtiếp điểm là y0 = y(−1) = 6. Hệsốgóc của tiếp tuyến là k = y′(−1) = −7. 0,5

Tiếp tuyến của (P) tại điểm M0(−1; 6) có phương trình là y = −7(x + 1) + 6 ⇔y = −7x −1. 0,5

3.a 1,5

H

I

A

B C

D

M

N

S

Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥CD. Mà ABCD là hình chữnhật nên AD⊥CD. Suy ra CD⊥(SAD). 1,0

Vì CD⊥(SAD) nên CD⊥AN. Mặt khác SD⊥AN và hai đường thẳng cắt nhau CD, SD cùng nằm trong mặt phẳng (SCD). Do vậy AN⊥(SCD).

0,5

3.b 1,0

Hình chiếu vuông góc của AC trên (SCD) là NC nên \ (AC, (SCD)) = \ (AC, NC) = \ NCA = ϕ. 0,5

Ta có AC = q

a2 + (a √

2)2 = a √

3. Trong tam giác SAD vuông tại A 1 AN 2 = 1 SA2 + 1 AD2 = 1 3a2 + 1

2a2 = 5 6a2 ⇒AN = a √

30 5 .

Tam giác NCA vuông tại N nên sin ϕ = sin \ NCA = AN

AC =

√

10 5 .

0,5

3.c 1,0

Vì hai tam giác SAB, SAD vuông tại A nên M, N lần lượt là các điểm trong của các đoạn thẳng SB, SD.

Ta có SM

SB = SM.SB

SB2 = SA2

SB2 = SA2

SA2 + AB2 = 3a2

3a2 + a2 = 3

4 ⇒−−→ SM = 3

4 −→ SB

Tương tựSN

SD = 3

5 ⇒−→ SN = 3

5 −→ SD

Do đó −→ IH = −−→ SI + −→ SH = −1

2(−−→ SM + −→ SN) + 1

2 −→ SC

= −1

2

3

4 −→ SB + 3

5 −→ SD + 1

2(−→ SA + −→ AC)

= −3

8 −→ SB −3

10 −→ SD + 1

2(−→ SA + −→ AC)

= −3

8(−→ SA + −→ AB) −3

10(−→ SA + −−→ AD) + 1

2(−→ SA + −→ AB + −−→ AD)

= −7

40 −→ SA + 1

8 −→ AB + 1

5 −−→ AD

0,5

Do SA, AB, AD đôi một vuông góc nên

IH2 = −→ IH2 = −7

40 −→ SA + 1

8 −→ AB + 1

5 −−→ AD 2 = −7

40 −→ SA 2 + 1

8 −→ AB 2 + 1

5 −−→ AD 2

= 49 1600SA2 + 1

64AB2 + 1

25AD2 = 3a2

16

Vậy IH = a √

3 4 .

0,5

4 1,0

Hàm sốf(x) = ax2 + bx + c −2020 cos πx

2

xác định và liên tục trên R.

Ta có f(−1) = a −b + c, f(1) = a + b + c, f(3) = 9a + 3b + c. Từđó và 7a + b + 3c = 0 suy ra 3f(−1) + 2f(1) + f(3) = 2 (7a + b + 3c) = 0.

0,5

+ Nếu trong ba sốf(−1), f(1), f(3) có một sốbằng 0 thì ta có ngay điều phải chứng minh. + Nếu cảba sốf(−1), f(1), f(3) đều khác 0 thì từ3f(−1) + 2f(1) + f(3) = 0 suy ra trong ba sốf(−1), f(1), f(3) có hai sốtrái dấu, tích của hai sốđó âm. Dẫn tới phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm. Vậy với 7a + b + 3c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 2020 cos πx

2

có ít nhất

một nghiệm trên [−1; 3] ⊂R.

0,5