Đề khảo sát đội tuyển HSG lớp 10 môn Toán lần 1 năm học 2017 2018 trường THPT Thanh Miện Hải Dương

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP 1 Ngày thi: 30/01/2018 ***

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Năm học 2017 – 2018 Môn thi: Toán – Lớp 10 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I ( 2+2=4 điểm)

Cho parabol 2 ( ): 1 P y ax bx   

1) Tìm các giá trị của ;a b để parabol có đỉnh 3 11 ; 2 2 S         .

2) Với giá trị của ;a b tìm được ở câu 1, tìm giá trị của k để đường thẳng : ( 6) 1 y x k     cắt parabol tại hai điểm phân biệt ; M N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng : d 4 2 3 0 x y    . Câu II ( 2 điểm)

Cho tam giác đều ABC và các điểm , , M N P thỏa mãn BM k BC   , 2 3    CN CA,

4 15    AP AB. Tìm k đểAM vuông góc với PN .

Câu III( 3+3+3=9 điểm)

1) Tìm m để phương trình 3m 1 x 6 x 9 m x 2 x 9 8 x 2

        

có hai nghiệm 1 2 x ,x sao cho 1 2 x 10 x   2) Giải phương trình 3 . 4 4 . 5 5 . 3 x x x x x x x         

3) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2 2 2 6 2 2 3 0

( )( 3) 3( ) 2

               

x y y y

x y x xy y x y .

Câu IV( 1.5+1.5=3 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi ; E F là các điểm xác định bởi 1 , 3 BE BC    1 , 2 CF CD    đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại điểm I .

1) Tính giá trị của . EACE  theo a. 2) Chứng minh rằng  0 90 AIC  . Câu V ( 2 điểm) Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2          a a b b c c P c a b a b c b c a .

- - - - Hết - - - - - “CHÚ Ý : HỌC SINH KHÔNG ĐƯỢC SỬ DỤNG MÁY TÍNH”

Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1 4 điểm Câu 1 Tìm …. 2 điểm Do Parabol nên và có trục đối xứng nên . 0,5

Tọa độ đỉnh có tung độ là mà nên ta có: hay 0,5

Ta có hệ pt thế vào ta được:

Nếu loại. Nếu thỏa mãn. Vậy là giá trị cần tìm.

1,0

Câu 1

ý 2 Tìm m … với parabol 2 điểm

Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt có hai nghiệm phân biệt , hay pt: 2 2 2 0 x kx    có hai nghiệm phân biệt có

0,5

Khi đó, giao điểm , , nên trung điểm của đoạn là . 0,5

Theo định lý Viet ta có 1 2 2 k x x   nên

2 1 2 3 2 ; 4 2

k k k I

           

0,5

Do I thuộc đường thẳng nên 2 8 2 0 k k    hay 4 18 k  thì thỏa mãn bài toán. 0,5 Bài 2 Cho tam giác đều ABC và các điểm , , M N P thỏa mãn    BM kBC ,

2 3    CN CA, 4 15    AP AB. Tìm k để AM vuông góc với PN .

+) ( )            BM kBC AM AB k AC AB

(1 )        AM k AB k AC .

+)       PN AN AP 4 1 15 3     AB AC

B C

A

M

N P

Để AM vuông góc với PN thì . 0  

AM PN

4 1 (1 ) 0 15 3               

    k AB k AC AB AC

2 2

0

4(1 ) 1 4 ( ) 0 15 3 3 15 4(1 ) 1 4 ( )cos60 0 15 3 3 15 1 3

       

       

 

 k k k k AB AC AB AC

k k k k

k

KL: 1 3  k

Câu 3

1) Tìm m để phương trình

3m 1 x 6 x 9 m x 2 x 9 8 x 2

        

Giải:

PT  

3m 1 x 9 3 m x 9 1 x 2

         đặt t x 9,t 0   

PT trở thành :

    2 2 3m 1 t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 0 2

            (1)

PT ban đầu có nghiệm 1 2 x 10 x  

(1) có nghiệm    1 2 1 2

1 2

' 0

0 t 1 t t 1 t 1 0

t t 0

              

    2

2 m 1 2 m 13 0 m 25 0 m 13 m 1 1 0 13 m 0 m 13 2 m 1 m 1 0

                             

2) Giải phương trình

3 . 4 4 . 5 5 . 3 x x x x x x x         

giải: Điều kiện: 3 x 