Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 10 môn Toán THPT năm 2017 2018 sở GD và ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 04/04/2018 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2

2 6 4x 2018

( 1) 2( 1) 4

x y

m x m x

  

   

có tập xác

định là . 2) Cho hai hàm số   2 2 1 2 y x m x m     và 2 3 y x  . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt

nhau tại hai điểm Avà B phân biệt sao cho 2 2 OA OB  nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ).

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải phương trình 3 5 3 5 4 2 7 x x x     

2) Giải bất phương trình

2 2 11 19 19 6 2 2 1 x x x x x       

3) Giải hệ phương trình      

2 4 4 2 5 1

2 2 14 0

xy xy y y y

xy x y x y

           

Câu III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có 6; 7; 5 AB BC CA    .Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho

2 AM MB  và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC  (k  ).Tìm k sao cho đường thẳngCM vuông góc với đường thẳng BN . 2) Cho tam giác ABC có , , BC a CA b AB c    và p là nửa chu vi của tam giác. Gọi I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác. Biết 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 9 2 c p a a p b b p c IA IB IC       . Chứng minh rằng tam giác ABC

đều. 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB là 2 1 0 x y   . Biết phương trình đường thẳng BD là 7 14 0 x y    và đường thẳng AC đi qua điểm (2,1) M .Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc. Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ, máy thứ hai làm việc không quá 4 giờ. Hỏi một ngày nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất? Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực , , a b c dương thỏa mãn 2 2 2 27 a b c    thì:

2 2 2 1 1 1 12 12 12 63 63 63 a b b c c a a b c            .

........................................ Hết ......................................

Họ và tên thí sinh: .............................................. Số báo danh: ............................. Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ....................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10

THPT – NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN: TOÁN (Dự thảo hướng dẫn chấm gồm 6 trang)

Câu Nội dung Điể m Câu

I.1 1,0 đ

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là

2

2 6 4x 2018

( 1) 2( 1) 4

x y

m x m x

  

   

Hàm số có tập xác định khi và chỉ khi 2 ( ) ( 1) 2( 1) 4 0, . f x m x m x x       

0,25

Với 1, m  ta có ( ) 4 0, . f x x    Do đó 1 m  thỏa mãn.

0,25

Với 1, m  2 1 ( ) 0, ( 1) 4( 1) 0 m f x x m m          

0,25

1 ( 1)( 5) 0 m

m m       

1 5. m   Vậy1 5. m  

0,25

Câu

I.2 1,0 đ

Cho hàm số   2 2 1 2 y x m x m     và hàm số 2 3 y x  . Tìm m để đồ thị các hàm số đó

cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho 2 2 OA OB  nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

  2 2 1 2 2 3 x m x m x      hay 2 2 2 3 0 x mx m     (*)

0,25

Ta có: 2 ' 2 3 0 m m    với mọi m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. 0,25

Gọi , A B x x là hai nghiệm của phương trình (*). Khi đó     ;2 3 , ;2 3 A A B B A x x B x x  

Ta có     ;2 3 , ;2 3 A A B B OA x x OB x x     .

       

    

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 3 2 3

5 12 18

5 12 18 10 1

A A B B

A B A B

A B A B A B

OA OB x x x …