Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 10 môn Toán THPT năm học 2017 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh

Câu 1. (6 điểm)

a) Giải bất phương trình 1 1 2 3 5 2 x x x ≤ + − − −

.

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 3 8

3 1 4 9

x y x

x y x x

 + = +  + + = + 

.

Câu 2. (6 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm không âm

( ) 4 3 2 8 1 4 16 0. mx x m x x m + + − + + =

b) Một hộ nông dân dự định trồng đậu và cà trên diện tích

2 800m . Biết rằng cứ 2 100m

trồng đậu cần 10 công và lãi 7 triệu đồng còn 2 100m trồng cà cần 15 công và lãi 9 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tiền lãi cao nhất khi tổng số công không vượt quá 90. Câu 3. (3 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 1;2 , 2;7 A B . Biết độ dài

đường cao kẻ từ A bằng 1 và đỉnh C thuộc đường thẳng 3 0 y − = . Tìm tọa độ đỉnh C. Câu 4. (3 điểm)

Cho tam giác ABC có sin 2018sin sin 2018cos cos B C A B C + = + và độ dài các cạnh là các số tự nhiên.

Gọi M là trung điểm cạnh BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh tam giác MBG có diện tích là một số tự nhiên. Câu 5. (2 điểm)

Cho các số thực ,x y thỏa mãn 2 2 1 1 x y x y + = − + + + . Tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 2 1 F 2 2

xy x y x y x y y x x y

+ + = − + − + +

.

--------------------------Hết--------------------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………Số báo danh: ………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút

Điều kiện: 5 2 2 x −≤ < ; 1 2 x ≠

*) Với 1 2 2 x −≤ < thì VT(1) < 0 nên (1) luôn thỏa mãn

*) Vói 1 5 2 2 x < < thì hai vế của BPT đều dương nên

( ) ( )( ) 1 2 3 5 2 5 2 2 3 5 2 x x x x x x ⇔ + − − ≥ − ⇔ − + − ≥ −

( )( )

2 3 2 3 2 6 0 2 2

x x x x x x x

≤−  ⇔ + − ≤ ⇔ − − ≥ ⇔≥ 

Kết hợp khoảng đang xét ta được 5 2 2 x ≤ <

Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là 1 5 2; 2; 2 2 S     = − ∪        

Điều kiện 1 x ≥− Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được

2 1 2 3 1 1 0 1 1 2

y x y y x x y x

 = +  − + + + = ⇔ = +  *) Với 1 y x = + , thay vào pt(2) được

( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 8 6 0 3

x KTM x x x x x x

= −  + + = + ⇔ − − = ⇔= 

. Suy ra 2 y =

*) Với 1 1 2 y x = + , thay vào pt(2) được ( ) 2 1 1 3 8 2 x x x + + = +

( ) 2 5 145 4 2 5 15 0 5 145 4

x KTM x x

x

 − =   ⇔ − − = ⇔  + = 

. Suy ra 1 9 145 2 4 y + =

Kết luận: Hệ có hai nghiệm ( ) ;x y là ( ) 3;2 và 5 145 1 9 145 ; 4 2 4

  + +      

Ta có ( ) 4 3 2 2 1 8 4 16 0 mx x mx x x m ⇔ + + − + + =

( )

2 2 2 2 3 2 2 4 4 4 4 x x m x x x x m x x   ⇔ + = − − ⇔ = −   + +  

Đặt 2 1 0 4 4 x t t x   = ≤≤   +  

, phương trình (1) trở thành: 2t t m −= (2)

Xét hàm số ( ) 2 f t t t = − trên đoạn 1 0; 4      

, ta có bảng biến thiên

t 0 1 4

f(t)

0

3 16 −

Dựa vào bảng biến thiên ta có 3 0 16 m − ≤ ≤

Lưu ý: Có thể chia hai vế cho

2x và sử dụng ẩn phụ 4 t x x = +

Gọi ,x y lần lượt là diện tích trồng đậu và trồng cà (đơn vị là 2 100m ). Ta có 0; 0; 8 x y x y ≥ ≥ + ≤ Do tổng số công không vượt quá 90 nên 10 15 90 2 3 18 x y x y + ≤ ⇔ + ≤ Tổng số tiền lãi là 7 9 T x y = + (triệu đồng)

Ta có ( ) ( ) 7 9 3 2 2 3 3.8 2.18 60 T x y x y x y = + = + + + ≤ + =

Đẳng thức xảy ra khi 8 6 2 3 18 2 x y x x y y + = =   ⇔   + = =  

Vậy cần trồng đậu trên diện tích 2 600m và trồng cà trên diện tích 2 200m thì tổng số tiền lãi cao nhất. Lưu ý: Có thể dùng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài này

Kẻ đường cao AK và CH của tam giác ABC. Ta có ( ) 1;5 , 26 AB AB = = 

Phương trình đường thẳng AB: 5 3 0 x y − − =

Gọi ( ) ;3 C c suy ra ( ) 5 6 ; 26

c CH d C AB − = =

( )

2 2 2 4 4 20 BC c c c = − + = − +

Ta có 2 . . 4 20 5 6 AK BC AB CH c c c = ⇔ − + = −

2 2

2

4 20 25 60 36

2 24 56 16 0 1 3

c c c c

c c c c

⇔ − + = − +

=   ⇔ − + = ⇔= 

Vậy có hai điểm thỏa mãn bài toán là

( ) …