Đề thi chọn HSG cấp trường lớp 10 môn Toán năm 2017 2018 trường THPT Con Cuông Nghệ An

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018

Môn : TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.(5,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai 2 5 0 x x m    (1) với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 1 2 2 1 x x x x 6   .

Câu 2. (3,0 điểm)

Giải hệ phương trình:

2 3 2

4 2 1

(2 1) 1

x x y xy xy y

x y xy x

           

Câu 3.(5,0 điểm)

a) Cho góc  thỏa mãn tan 2 . Tính giá trị biểu thức 3 3 4sin cos sin 2cos P       

b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các 2 1 BD BC; AE AC 3 4     . Điểm K trên đoạn

thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số AD

AK .

Câu 4. ( 5,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm

AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình : 3 1 0 CD x y  , 16;1 3 E      .

a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD

và BE.

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho c,b ,a là các số thực dương thoả mãn 1    c b a .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 P a b c abc     .

---- Hết ----

Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu Nội dung Điểm

1. Phương trình 2 5 0 x x m    5,0

a) Giải phương trình (1) khi 6 m  1,5

Khi 6 m  PT (1) có dạng: 2 5 6 0 x x    0,5

Ta có: ' 4 1 5 0    0,5

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 x  và 2 3 x  0,5

b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5

Lập ∆ = 25 - 4m

Phương trình có 2 nghiệm 1 2 , x x khi ∆ ≥ 0 hay m  25 4 0,5

Áp dụng hệ thức Viet, ta có 1 2 1 2 5; x x x x m   

Hai nghiệm 1 2 , x x dương khi 1 2

1 2

x x 0

x x 0

ì + > ïïíï > ïî hay m > 0. 0,5

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m  25 4 (*) 0,5

Ta có: ( )

2

1 2 1 2 1 2 x x x x 2 x .x 5 2 m + = + + = +

Suy ra 1 2 x x 5 2 m + = +

Ta có   1 2 2 1 1 2 1 2 x x x x 6 x .x x x 6     

Hay m 5 2 m 6 2m m 5m 36 0       (1)

0,5

Đặt t m 0  , khi đó (1) thành:

 2t3 + 5t2 - 36 = 0

 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0

0,5

 t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0

Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).

Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm.

0,5

Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5

1 2 2 1 x x x x 6   .

2. Giải hệ phương trình:

2 3 2

4 2 1

(2 1) 1

x x y xy xy y

x y xy x

            3,0

Hệ  

2 2

2 2 ( ) ( ) 1

1

x y xy x y xy

x y xy

            1,0

Đặt

2 a x y b xy

    . Hệ trở thành: 2 1

1

a ab b

a b

        (*) 0,5

Hệ

3 2 2

2 2 2 0 ( 2) 0 (*) 1 1

a a a a a a

b a b a

                   

Từ đó tìm ra   ( ; ) (0; 1); (1; 0); ( 2; 3) a b   

0,5

Với ( ; ) (0; 1) a b  ta có hệ

2 0 1 1 x y x y xy

         .

Với ( ; ) (1; 0) a b  ta có hệ

2 1 ( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0) 0

x y x y xy

         .

0,5

Với ( ; ) ( 2; 3) a b   ta có hệ

2

3 2

3 3 2 1; 3 3 2 3 0 ( 1)( 3) 0

y y x y x y x x xy x x x x x

                             

.

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm   ( ; ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3) x y     .

0,5

3. 5,0

a) Cho góc  thỏa mãn tan 2 . Tính giá trị biểu thức 3 3 4 sin cos sin 2 cos P        2,5

   2 2

3 3 3 3 4sin cos sin cos 4sin cos sin 2cos sin 2cos P

         

       1.0

3 2 2 3

3 3 4sin sin cos 4sin cos cos sin 2cos              0,5

3 2

3 4tan tan 4tan 1 tan 2          0,5

4.8 4 4.2 1 7 8 2 2       0,5