Đề học sinh giỏi lớp 10 môn Toán cấp trường năm 2018 2019 trường Lưu Hoàng Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán - Lớp: 10 (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4.0 điểm). Cho parabol (P): y = ax2 + bx – 1 (a, b là hệ số thực).

a) Tìm các giá trị của a, b để parabol (P) có đỉnh 3 11 ; 2 2 I        

.

b) Với giá trị của a, b tìm được ở câu a), tìm giá trị của k để đường thẳng  có phương trình y = (k + 6)x + 1 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d có phương trình 4x + 2y – 3 = 0.

Câu 2 (2.0 điểm). Giải bất phương trình: 1 2 3     x x x .

Câu 3 (2.0 điểm). Tìm m để bất phương trình:

2

2

5 1 2 3 2 x x m x x      có nghiệm với mọi x

thuộc R.

Câu 4 (4.0 điểm). Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.

Câu 5 (4.0 điểm).

a) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Tìm b, c biết mb = 4, mc = 2 và a = 3 (trong đó mb, mc là độ dài các đường trung tuyến qua đỉnh B, C của tam giác).

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC, biết A(5; 4), B(3; -2), C(1; -5). Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho MA MB MC      đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 6 (3.0 điểm). Giải hệ phương trình sau:



 

   

    

12 2 5 2 2

3 4 ) 3 (

3

2

y x

y x y y

Câu 7 (1.0 điểm). Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

a c c b b a a c c b b a      3

3

3

3

3

3

.

----------------HẾT---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................ Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán - Lớp: 10 I. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi. 3. Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm. II. Đáp án và thang điểm

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Vì (P) có đỉnh 3 11 ; 2 2 I        

nên

3 2 2 3 11 2 2

b

a

f

             

1,0

 3

3 2 6 0

b a

a b

      

 2

6

a

b

   

. Vậy a = 2, b = 6 1,0

b) Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình:

có hai nghiệm phân biệt hay phương trình: 2x2 - kx - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt có . Khi đó, giao điểm , , nên trung điểm của đoạn là .

1,0

Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = k/4 nên

2 6 4 ; 4 4 k k k I        

Do I thuộc đường thẳng nên k2 + 8k - 2 = 0  4 3 2 k  là giá trị thỏa mãn bài toán.

1,0

Câu 2 (2,0 điểm)

a)







  

  

 



   



       

x x x

x

x x x

x

x x x x

2 )1 2 (

2 1

3 ) 1 2 (

0

0 1 2 3 1 2

2

1,0



 

  

   

 

   

  

 



 





  

 





0 4 3

2 2 1

4 4 2

2 2 1

) 2 ( ) 1 2 (

0 2

2 1

2 2 2 2 x x

x

x x x x

x

x x x

x

x

0,5

1 2 1

1 4

2 2 1

   

 

  

   x x

x . Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm [1/2; 1]. 0,5

Câu 3 (2,0 điểm)

Ta có: 2x2 - 3x + 2 > 0, với x  R nên:

2

2

5 1 2 3 2 x x m x x     

2 2 2 5 (2 3 2) 3 2 2 0 x x m x x x x m            (*) 1,0

Để BPT đã cho có nghiệm với x  R  (*) có nghiệm với …