Đề thi HSG lớp 10 môn Toán năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH ĐB Bắc Bộ

(Đề thi gồm 1 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 10 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/4/2019

Câu 1. ( 4 điểm )

Giải hệ phương trình    

2 2

2

3 1 1 2 , 2 5 1 2 2 4 2

y y y x x y x x x x y

               

.

Câu 2. ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC có AB AC  , các điểm , , D E F lần lượt nằm trên các cạnh , , BC CA AB sao cho

|| , || DE AB DF AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại

các điểm , A G . Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm   H H E  . Đường

thẳng qua G vuông góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm   K K G  , đường

thẳng qua G vuông góc với GC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm   L L G  . Gọi , P Q

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , GDK GDL . Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên

cạnh BC thì: a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 3. ( 4 điểm ) Tìm tất cả các số nguyên dương , m n và số nguyên tố p thỏa mãn

  3 2 4 40 2 11 5 . n m m m p    

Câu 4. ( 4 điểm ) Cho 3 số thực dương , , a b c. Chứng minh rằng:

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 1 1 1 a a b c b b c a c c a b ab bc ca            

Câu 5. ( 4 điểm ) Cho bảng ô vuông kích thước 100 100  mà mỗi ô được điền một trong các ký tự , , , A B C D sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25.Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự , , , A B C D là “bảng tốt”.

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1 4, 4 1   và 2 2  đều có chứa đủ các ký tự , , , ? A B C D

b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:

i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt.

ii) Luôn có một bảng tốt.

-------------- HẾT -------------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ...................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DH&ĐBBB NĂM 2019 MÔN: TOÁN 10 ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM Câu Nội dung trình bày Điểm Câu 1 Giải hệ phương trình   



2 2

2

3 1 1 1 2

2 5 1 2 2 4 2 2

y y y x

x x x x y

             

.

Nguồn: Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa

4đ

Điều kiện: 2 4 2 0 x y    .

Từ phương trình (1), ta có:

2 2 2 2 4 2 1 2 . 1 x y y y y y     

 

2 2 2 4 2 1 x y y y      .

0,5

Thay vào phương trình (2) và chú ý rằng

2 1 0 y y   .

Lúc này ta được

  2 2 2 5 1 2 1 x x x y y         

2 2 1 1 4 2 1 x x y y      

2

2 1 1 1 1 2 2 x x y y              (3)

1,0

Đặt 1 2 x u   . Từ (3) cho ta

2 2 1 1 u u y y     

2 2 1 1 0 u y u y         

2 2 0 1 1

u y u y u y u y

       

  2 2 1 0 1 1

u y u y u y

               (4)

1,0

Do    2 2

2 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1

u u y y u y

u y u y

          

Nên từ (4) cho ta u y  , hay 1 2 1 2 x y x y    .

0,5

Thay vào phương trình (1) ta được

 

2 2 5 1 1 2 2 y y y y      

2 2 1 4 y y   

2 1 2 y y    (do

2 1 0 y y   ). Tìm được 3 5 , 4 2 y x   .

Kết luận: Hệ có đúng một nghiệm   ;x y là 5 3 ; 2 4      

1,0