Đề học sinh giỏi lớp 10 môn Toán cấp trường năm 2019 2020 trường Lưu Hoàng Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: Toán - Lớp: 10 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + 1 – m2 (m là tham số).

a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2).

b) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

Câu 2 (6 điểm).

a) Giải phương trình:

2

2 3(4 9) 2 3 3 3

x x x

   

b) Tìm m để phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = m có nghiệm.

c) Giải hệ phương trình:  

2 2 2 2

9 3 3 2 5

( )( 3) 3( ) 2

x y x y y

x y x xy y x y

       

       

Câu 3 (6 điểm).

a) Cho ABC và hai điểm M, N thay đổi sao cho: MC MB MA MN 2 4    . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.

b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1

4 . Đặt a = BC, b = AC, c = AB. Chứng

minh rằng: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2.

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 3). Tìm tọa độ

điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc ˆ AMB bằng 0 45 .

Câu 4 (2 điểm). Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ lên 200.000đ/1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?

Câu 5 (2 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 1 2020 A x y z xy yz zx       .

----------HẾT---------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................ Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: Toán - Lớp: 10

I. Hướng dẫn chung II. Đáp án và thang điểm

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4 điểm)

a) Phương trình hoành độ giao điểm:

2 2 2 2 2( 1) 1 0 2( 1) 1 0 x m x m x m x m           (2) 0.5

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

2 2 ' 0 ( 1) 1 0 2 2 0 1 m m m m          .

0.5

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là 1 2 , x x .

Tọa độ các giao điểm , A B là 1 2 ( ;0), ( ;0) A x B x ; 1 2 ( 2;2), ( 2;2) KA x KB x      

. 0.5

1 2 1 2 1 2 . 0 ( 2)( 2) 4 0 2( ) 8 0 KA KB KA KB x x x x x x              

2 2 1 1 2.2( 1) 8 0 4 3 0 3

m m m m m m

             

.

Kết hợp điều kiện 1 m , ta được 1 m , 3 m  .

0.5

b)

2 2 2 2 2 2 2( 1) 1 2( 1) ( 1) ( 1) 1 y x m x m y x m x m m m             

2 ( 1) 2 2 y x m m       . 0.5

2 2 y m    , với mọi x  R. 0.5 Dấu " "  xảy ra khi 1 x m  . Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2 m  . 0.5 Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2 2 6 2 m m     . 0.5

Câu 2 (6 điểm)

a) Điều kiện: x < -1 hoặc x > 1 0.5

Phương trình

2

2

2 3(4 9) 2 3 3(2 3)(2 3) (2 3) 3 3 3 3

x x x x x x x

         

0.5

2

2 2

3 2 3 0 2 2 3 0 3 3 3(2 3)

3 3 9(2 3)

x x

x x x

x x

                        

0.5

2

3 2 3 3 2 2 2 33 108 84 0

x

x x x x x

                       

. Vậy phương trình có hai nghiệm x = -

3/2, x = 2.

0.5

b) Điều kiện: x R. Phương trình (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = m (1) 0.5 Đặt t = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2, điều kiện t  0. (1)  (t – 9) (t – 1) = m t2 – 10t + 9 = m (2), t 0 0.5

Xét hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t 0. 0.5

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC