Đề chọn HSG lớp 10 môn Toán vòng 1 năm 2020 2021 trường THPT Trần Nguyên Hãn Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 1

LỚP 10 - NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Họ, tên thí sinh: ……………………………………. Số báo danh: ……………….………… Câu I (4,0 điểm).

1. Cho hàm số 2 2 3 y x x    có đồ thị là parabol (P).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (P). b. Dựa vào đồ thị (P) vừa vẽ trên hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

2 2 3 0 x x m     có 4 nghiệm phân biệt.

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 (2 1) 2 2 y m x mx m      đồng biến trên

khoảng(1; ) . Câu II (2,0 điểm).

Cho số thực 0 a  và hai tập hợp   16 ;4 , ; A a B a       

. Tìm tất cả các giá trị của a để

A B  . Câu III (4,0 điểm).

1) Giải phương trình   2 4 3 2 0 x x x    .

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 1 1 x m x x x       vô nghiệm.

Câu IV (2,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình 2 4 2 3 3 x y m x y m

      

có nghiệm thỏa 2 2 5 x y  

. Câu V (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có điểm G là trọng tâm. 1) Phân tích véctơ



AG theo hai véctơ



AB và



AC . 2) Điểm N thỏa mãn 3 0 NB NC     

chứng minh đẳng thức : 6 5 7 0 GN AB AC       

.

3) Gọi P là giao điểm của AC và GN , tính tỉ số PA

PC .

Câu VI (2,0 điểm). Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện 1 abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2 bc ca ab P a b a c b a b c c a c b      

------------------ Hết ------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên, Chữ kí của cán bộ coi thi:……………………………………………………………………

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

Câu I 1. Cho hàm số (P): 2 2 3 y x x   .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên hãy tìm tất cả các giá trị của m để

phương trình

2 2 3 0 x x m     có 4 nghiệm phân biệt.

3,0

 Ta có :



2

b

a = 1 và 

4a

 = 4.

 Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1; 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

 Bảng biến thiên:

x  1 + y

+ 4 +

 Đồ thị: Đồ thị đi qua 2 điểm A(3; 0), B(1; 0).

0,5 0,5 0,5 0,5

c.

 Ta có     

; 0

; 0

f x f x y f x f x f x

 



   



. Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

 C từ đồ thị hàm số  y f x  như sau:  Giữ nguyên đồ thị   y f x phía trên trục hoành. Lấy đối xứng phần đồ thị   y f x phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ). Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số   y f x như hình vẽ.

 Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

2 2 3 y x x    (phần đường đậm) và đường thẳng (d): y =- m là đường

thẳng song song hoặc trùng với trục hoành cắt trục tung tại tung độ -m .

 Vậy phương trình có 4 nghiệm khi và chỉ khi -4<m<0.

0,25 0,25 0,25 0,25 2. Tìm m để hàm số 2 (2 1) 2 2 y m x mx m      đông biến trên khoảng (1; ) 

.

1,0

 Với 1 5 2 2 m y x    . Hàm số nghịch biến trên  . Do đó 1 2 m 

không thỏa mãn.

 Với 1 2 m  . Hàm số đồng biến trên khoảng  1; khi và chỉ kh

2 1 0

1 2 1

m

m m

     

1 2 m  

 Vậy 1 2 m 

0,25 0,25 0,25 0,25