Đề HSG cấp trường lớp 10 môn Toán năm 2020 2021 trường Yên Phong 2 Bắc Ninh

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………….………. Số báo danh: ……………………….. Câu 1: (2,0 điểm)

Cho hàm số bậc hai 2 2( 1) 3 4 y x m x m = − − − + (1), với m là tham số.

a) Vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2. m =

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) luôn đi qua với mọi giá trị của m .

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 2 1 x x − = .

Câu 2: (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , với ( ) 2;3 A , ( ) 2; 1 B −− , ( ) 1;5 C .

a) Tìm tọa điểm D sao cho 4. 0 DA DB DC − + =

.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và tạo với đường thẳng AB góc 45°.

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Câu 3: (3,0 điểm)

Giải hệ phương trình và bất phương trình sau đây:

a)

2 2

4 2 2 2 3 15

2 4 5

x y x y

x y x y

 + + =  + − − = 

.

b) 2 2 8 4 2 x x x − + > −.

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho ba số thực , , 0;3 , x y z   ∈    thỏa mãn 4 x y z + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( ) 2 2 2 3 2 P x y z xyz = + + − .

============= Hết =============

Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 (Đề có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán – Lớp 10 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Thi ngày: 10/3/2021

Trang 1

SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 (HDC có 03 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán – Lớp 10 Lời giải sơ lược Điểm Câu 1: (2,0 điểm)

a) Với 2 m = thì hàm số (1) trở thành 2 2 2 y x x = − − và có đồ thị như sau

x

y

1

3 1

- 1

- 3

- 2

O

1,0

b) Gọi 0 0 ( ; ) M x y là điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) luôn đi qua với mọi giá trị của m . Ta có

2 0 0 0 2 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0 0

2( 1) 3 4,

(2 3) ( 2 4) 0,

3 2 3 0 2 . 13 2 4 0

4

y x m x m m

m x y x x m

x x

y x x y

= − − − + ∀ ∈

⇔ + + − − − = ∀ ∈   = −   + =    ⇔ ⇔     − − − =    = 

ℝ

ℝ

Vậy 3 13 ( ; ) 2 4 M − là điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) luôn đi qua với mọi giá trị của m .

0,5

c) Phương trình 2 2( 1) 3 4 0 x m x m − − − + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x khi và chỉ

khi 2 1 13 ' 3 0 2 m m m −+ ∆= + − > ⇔ > hoặc 1 13 (2). 2 m −− < Lúc này, theo

định lí Viet, ta có 1 2 1 2 2( 1), 4 3 . x x m x x m + = − = −

Nhận thấy

1 2 1 2 1 2

2( 1) 4 3 2 3 , 2 1 3 3

x x m m m x x x x

 + = − − −  ⇔ = =  − = 

, từ đây thế vào

Trang 2

1 2 4 3 x x m = − và biến đổi ta được 2 9 3 105 8 9 27 0 16 m m m −± + − = ⇔ = . Cả hai

giá trị này đều thỏa mãn (2). Vậy với 9 3 105 16 m −± = thì đồ thị hàm số (1) cắt trục

hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 2 1 x x − = .

0,5

Câu 2: (3,0 điểm)

a) Gọi 0 0 ( ; ) D x y thì 0 0 0 0 0 0 (2 ;3 ), ( 2 ; 1 ), (1 ;5 ), DA x y DB x y DC x y = − − = −− −− = − −

0 0 4. (8 4 ;24 4 ). DA DB DC x y − + = − −

Do đó

0 0

0 0

8 4 0 2 4. 0 . 24 4 0 6

x x DA DB DC y y

    − = =   − + = ⇔ ⇔     − = =    

Vậy (2;6). D

1,0

b) Đường thẳng d đi qua điểm (2;6) D , có một vectơ pháp tuyến 2 2 1 ( ; ), 0. n a b a b = + ≠

Phương trình của d có dạng ( 2) ( 6) 0. a x b y − + − =

Vì ( 4; 4) AB = − −

nên 2 (1; 1) n = − là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng . AB

Ta có 1 2

2 2 1 2

. 0 2 cos45 2a 0 . 0 2 . 2( )

n n a b a b b n n a b

 − =  ° = ⇔ = ⇔− = ⇔= + 

0,5

Nếu 0 a = thì 0 b ≠ nên d có phương trình 6 0. y − = Nếu 0 b = thì 0 a ≠ nên d có phương trình 2 0. x − = Vậy có 2 đường thẳng đi qua D và tạo với đường thẳng AB góc 0 45 có phương trình lần lượt là 2 0, 6 0. x y − = − =

0,5

c) Với ( ) 2;3 A , ( ) 2; 1 B −− , ( ) 1;5 C thì 4 2, 3 5, 5, AB BC CA = = =

1( ) 2( 2 5). 2 p AB BC CA = + + = + Diện tích tam giác ABC là 0,5

( ( )( ) 6. S p p AB p BC p CA = − − − =

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là . . 5 2 4. 2 AB BC CA R S = = . 0,5

Câu 3: (3,0 điểm)

a)

2 2 2 2

4 2 2 2 2 4 2 2 2 3 15 2 3 15

2 4 5 2( 2 3 ) 2 4 35

x …