Đề học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm 2020 2021 trường Phùng Khắc Khoan Hà Nội

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN-THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN THI: TOÁN 10 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,5 điểm)

Cho parabol (P):

2 – 2 4 y x x = + và các đường thẳng (dm): 3 2 1 y x m = + + (m là tham số) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m. Câu 2 (4,5 điểm)

Giải các bất phương trình sau :

a/ ( ) 1 1 0 3 2 f x x = −  − b/ 2 2 5 4 5 5 28 x x x x

Câu 3 (5 điểm)

1/ Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm. Chứng minh rằng 2 2 2 AB EF CD + = .

2/ Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot cot cot A C B  + = .

a.Chứng minh rằng

2 2 2 cot

4 b c a A

s + − =

b. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến 1 AA và 1 CC của tam giác ABC khi 1 2 = .

Câu 4 (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các đường cao của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có phương trình : y = 1 - 2x a/ Tìm tọa độ của M biết M là trung điểm của BC b/ Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dương Câu 5 (2 điểm)

Tìm m để phương trình: 2 4 4 2 16 x x x m + + − + − = có nghiệm duy nhất. Câu 6 (3điểm)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x y z = + +

--------------------HẾT--------------------

Thí sinh không mang tài liệu và máy tính vào phòng thi

Giám thị không cần giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ................................................Số báo danh: ............................ Họ và tên, chữ kí CBCT 1: ..................................................................................

Họ và tên, chữ kí CBCT 2: ..................................................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 1/4 trang

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN-THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐÁP ÁN MÔN THI: TOÁN 10

Lưu ý: Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm

tối đa. Nội dung Điểm

Câu 1 (2,5 điểm)

Cho parabol (P): 2 – 2 4 y x x = + và các đường thẳng (dm): 3 2 1 y x m = + + (m là tham số) 1) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m.

2,5

Xét phương trình hoành độ: x2 – 2x + 4 = 3x + 2m + 1  x2 – 5x + 3 – 2m = 0 (1). Ta có:  = 8m + 13

1

+) Nếu 13 ( >0) 8 m − 

thì (1) có hai nghiệm phân biệt, do đó (dm) cắt (P)

tại hai điểm phân biệt.

0,5

+) Nếu ( ) 13 0 8 m = − = thì (1) có 1 nghiệm kép, do đó (dm) cắt (P) tại

một điểm.

0,5

+) Nếu ( ) 13 0 8 m −  thì (1) vô nghiệm, do đó (dm) không cắt (P). 0, 5

Câu 2(5, điểm)

Giải bất phương trình: 1/ ( ) 1 1 0 3 2 f x x = −  −

2,0

a

Ta có 1 1 1 1 0 0 3 2 3 2 x x −   −  − − . ( )

5 0 2. 3

x

x

−   − 0,5

Đặt t x = , bpt trở thành ( ) 5 0 2 3 t t

−  − . Cho 5 0 5 t t −= = Cho

3 0 3 t t − =  =

0,5

Bảng xét dấu

0,5

Căn cứ bảng xét dấu ta được 3 x  hay 5 x .

0,5