Đề kiểm tra chất lượng lớp 10 môn Toán cuối năm học 2019 2020 sở GD ĐT Bắc Ninh

SỞGDĐT BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG

(Đềcó 01 trang)

ĐỀKIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: Toán - Lớp 10

Thời gian làm bài: 90 phút (không kểthời gian giao đề)

Câu 1. (3,5 điểm)

Giải phương trình và bất phương trình:

a) √2x −7 = 1. b) |x −1| = 3.

c) 2x2 −x ≤x(x + 4) + 6. d) 1

x > 2 x −2.

Câu 2. (2,0 điểm)

Cho sin α = 4

5 với 0 < α < π

2 .

a) Tính cos α và tan α.

b) Tính sin 5α

2 .

Câu 3. (3,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệtọa độOxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(4; 0) và trọng tâm G 7

3; 1 .

a) Tìm tọa độđỉnh C. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Viết phương trình đường tròn (T) tâm A và cắt đường thẳng BC tại hai điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN = 2 √

2.

c) Tính diện tích tứgiác AOBC.

Câu 4. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là độdài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng

21 a2 + b2 + c2 ≥20 + 9 a3 + b3 + c3 .

- - - - - - HẾT - - - - - -

Họvà tên thí sinh:....................................................... Sốbáo danh:.............................

SỞGDĐT BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG

(Hướng dẫn có 02 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: Toán - Lớp 10

Câu Lời giải Điểm

1.a 1,0 √2x −7 = 1 ⇔2x −7 = 1 ⇔x = 4. 1,0

1.b 1,0

|x −1| = 3 ⇔



x −1 = 3

x −1 = −3 ⇔



x = 4

x = −2 . 1,0

1.c 1,0

2x2 −x ≤x(x + 4) + 6 ⇔x2 −5x −6 ≤0 ⇔−1 ≤x ≤6. 1,0

1.d 0,5 1 x > 2 x −2 ⇔1

x − 2 x −2 > 0 ⇔−x −2

x2 −2x > 0.

Bảng xét dấu của biểu thức f(x) = −x −2

x2 −2x như sau

x

f(x)

−∞ −2 0 2 +∞

+ 0 − + −

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−∞; −2) ∪(0; 2).

1,0

2.a 1,0

Vì 0 < α < π

2 và sin α = 4

5 nên cos α = p

1 −sin2 α =

s

1 − 4

5

2 = 3

5. 0,5

Ta có tan α = sin α

cos α = 4

3. 0,5

2.b 1,0

Ta có sin 2α = 2 sin α cos α = 24

25, cos 2α = 2 cos2 α −1 = −7

25. 0,5

Ta lại có sin2 α

2 = 1 −cos α

2 = 1

5 ⇒sin α

2 =

√

5 5 (do sin α

2 > 0).

Tương tựta tính được cos α

2 = 2 √

5 5 .

Vậy sin 5α

2 = sin 2α + α

2

= sin 2α cos α

2 + cos 2α sin α

2 = 41 √

5 125 .

0,5

3.a 1,5

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên   

 

xG = 1

3 (xA + xB + xC)

yG = 1

3 (yA + yB + yC) ⇒

( xC = 3xG −xA −xB = 3

yC = 3yG −yA −yB = 1 ⇒C(3; 1). 0,5

Ta có −−→ BC = (−1; 1) nên ⃗n = (1; 1) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC. 0,5

Phương trình của BC là x + y −4 = 0. 0,5

3.b 1,0

Gọi H là trung điểm của MN.

Ta có AH⊥MN và AH = d (A, BC) = |0 + 2 −4| √

12 + 12 = √

2.

Bán kính đường tròn (T) là r = AM = √

AH2 + HM 2 =

s

AH2 + MN

2

2 = 2.

0,5

x

y

H

A

B

C

M

N

O

Đường tròn (T) có phương trình x2 + (y −2)2 = 4. 0,5

3.c 1,0

Ta có S∆ABC = 1

2.AH.BC = 1 (đvdt). 0,5

S∆OAB = 1

2.OA.OB = 4 (đvdt). Do đó, SAOBC = S∆ABC + S∆OAB = 5 (đvdt). 0,5

4 1,0

21 (a2 + b2 + c2) ≥20 + 9 (a3 + b3 + c3) Từgiảthiết ta có a + b + c = 2 Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c ⇒2a < a + b + c = 2 ⇒a < 1. Tương tựta chứng minh được b < 1 và c < 1. Do vậy a, b, c ∈(0; 1).

Nhận thấy (1 −a) a −2

3

2 ≥0 nên −a3 + 7

3a2 −16

9 a + 4

9 ≥0 hay

21a2 ≥9a3 + 16a −4

0,5

Tương tự21b2 ≥9b3 + 16b −4; 21c2 ≥9c3 + 16c −4 Từđó suy ra 21 (a2 + b2 + c2) ≥9 (a3 + b3 + c3) + 20

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2

3.

0,5

2