Đề thi học kì 1 (HK1) trường Chu Văn An Hà Nội 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012- 2013

Môn: Toán lớp 10 Nâng cao

Dành cho tất cả các lớp Buổi thi: … ngày …/…/2012

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm 01 trang

----------------------

Câu 1. (1 điểm) Cho hàm số

2

3 4 ( ) 9

x f x x x    .

a. Tìm tập xác định của hàm số. b. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. Câu 2. (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình:

a. 2 2 4 2 x x x    . b.

1 2 2

5 3 1 2

x x y

x y x

           

.

Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số 2 (2 5) 2( 1) 3 y m x m x      có đồ thị   m C . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 2 m .

b. Chứng minh rằng khi 5 2 m  thì   m C luôn cắt đường thẳng ( ): 3 3 d y x  tại

hai điểm có tọa độ không đổi. Câu 4. (4 điểm)

1. Cho tam giác ABC , lấy các điểm , M N sao cho 2 0,3 2 0 MA MB NA NC    . a. Biểu thị , AM AN theo , AB AC . b. Chứng minh , , M N G thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm tam giác ABC . c. Giả sử , 5 , 2 3 AB a AC a MN a    với 0 a , tính số đo góc BAC của tam giác ABC . 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho (1;1), ( 1;3), (0;1) A B H  . a. Chứng minh , , A B H không thẳng hàng. b. Tìm tọa độ điểm C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Câu 5. (0,5 điểm)

Giải hệ phương trình

2

3

4

x xy y x y x xz z x z y yz z y z

      

      

      

------------------ HẾT ------------------

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2012 – 2013

Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm)

a. (0,5 điểm)

Hàm số xác định khi

2

3

2 2 4 0 2 2 0 0 9 0 3

x x x x x x x x

                      

0,25

Vậy hàm số có tập xác định     2;0 0;2 D   . 0,25

b. (0,5 điểm)

Ta có x D  thì ( ) ( ) x D f x f x      

. 0,25

Vậy ( ) f x là hàm số lẻ. 0,25 2. (2,0 điểm)

a. (1,0 điểm)

Đặt 2 , 0 y x y   . Ta có 2 1 2 0 2 2 y y y y y

          

(vì 0 y ). 0,5

Từ đó 2 2 4 2 2 2 2 0 x x x x x                

. Vậy tập nghiệm {0;4} S  .

(Học sinh có thể dùng cách phá dấu giá trị tuyệt đối)

0,5

b. (1,0 điểm) Điều kiện 0, 0 x x y   . 0,25

1 2 1 2 1

1 1 1 1 5 3 4 3 1 2 2

x x y x x x

x y y x y x y x

                                    

.

0,5

Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (1;3) x y  . 0,25 3. (2,5 điểm)

a. (1,5 điểm) Khi 2 m thì 2 2 3 y x x   . Tập xác định D R. 0,25 Bảng biến thiên

x  1   y

4  

0.5

Đồ thị: giao với trục tung tại (0;3) A , giao với trục hoành tại ( 3;0), (1;0) B C  , trục đối xứng có phương trình 1 x .

0,25

0,5

b. (1,0 điểm) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2 2 (2 5) 2( 1) 3 3 3 (2 5)( ) 0 m x m x x m x x        

0,25

Khi 5 2 m  phương trình trên luôn có hai nghiệm 0, 1 x x  . 0,25

Từ đó   m C luôn cắt ( ) d tại hai điểm có tọa độ không đổi là

(0;3), (1;0) M N với 5 2 m  .

0,5

4. (4,0 điểm

1a. (0,5 điểm)

Từ giả thiết rút ra được 2 2 , 5 AM AB AN AC   . 0,5

1b. (1,0 điểm)

Ta có   2 2 2 5 5 5 MN AN AM AC AB AC AB       ,

      1 1 1 2 5 3 3 3 MG MA MB MC MA MB AC AB AC          .

0.5

Từ đó 5 3 2 MG MN  . Vậy , , M N G thẳng hàng. 0.5

1c. (1,0 điểm)

Ta có 2 2 2 , 2 5 AM AB a AN AC a     . Từ đó áp dụng Định lí cos cho

tam giác AMN :

0.25

2 2 2 1 cos 2 . 2 AM AN MN MAN AM AN     . 0.5

Vậy 0 120 BAC MAN   . 0.25 2a. (0,5 điểm)

Ta có ( 1;0), (1; 2) AH BH    , mà 1 0 1 2  nên , AH BH không cùng

phương. Từ đó , , A B H không thẳng hàng.

0,5

2b. (1,0 điểm) Giả sử ( ; ) C x y , ta có ( 1; 1), ( 1; 3) AC x y BC x y       . 0,25

Để H là trực tâm tam giác ABC thì . 0

. 0

AH BC

BH AC

    

0,25

1 0 1 2 1 0 0 x x x y y             

. Vậy ( 1;0) C  . 0,5

5. (0,5 điểm

Điều kiện ( )( )( ) 0 x y y z z x    . Hệ tương đương với 1 1 1 7 12 1

12 7 1 1 1 1 5 12 2( ) 2 12 5 3( ) 1 1 1 12 1 1 3 12

x x y x xy x y xz x z y x z y yz y z z y z z

      …