Đề thi vào 10 môn Toán Hải Dương năm 2021

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2021 – 2022

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian phát đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Giải phương trình 2 3 4 x x   .

b) Giải hệ phương trình 2 5 0 5 3 18 x y x y       

.

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức 2 1 3 7 9 3 3 a a a P a a a

       

với 0, 9 a a   .

b) Cho hàm số bậc nhất 4 y ax   . Xác định hệ số a , biết đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng

: 3 2 d y x   tại điểm có tung độ bằng 5.

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 24m . Nếu tăng chiều dài lên 2m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện

tích mảnh đất tăng thêm 2 1m . Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.

b) Cho phương trình   2 2 1 3 0 x m x m      (Với m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho

luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x với mọi m . Tìm các giá trị của tham số m sao cho: 1 2 4 x x   .

Câu 4 (3,0 điểm):

1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn   ; O R và hai đường cao , AE BF cắt nhau

tại H ( , E BC F AC   ).

a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , A B E F cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh rằng OC EF 

2) Cho tam giác ABC có , B C   là góc nhọn và có diện tích không đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 P BC AC AB    .

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn     1 6 9 2 4 2 3 3 y y x x x y        . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức 2 3 4 3 M xy y x    .

2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM

Câu 1

Phương pháp:

a) Vận dụng công thức nhẩm nhanh của phương trình bậc hai một ẩn: nếu phương trình 2 0 ax bx c    có

0 a b c   thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 1; c x x a   

b) Vận dụng phương pháp cộng đại số để xác định nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

a) Ta có: 2 2 3 4 3 4 0 x x x x       .

Vì    1 3 4 0 a b c     nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1

4

x

c x a

     

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là   1;4 S  .

b) Ta có

Vậy nghiệm của hệ phương trình là     ; 3;1 x y  .

Câu 2

Phương pháp:

a) Vận dụng hằng đẳng thức    2 2 A B A B A B     để xác định mẫu thức chung của biểu thức P

Thực hiện các phép toán với các phân thức đại số để rút gọn biểu thức P

b) Thay 5 y  vào phương trình đường thẳng : 3 2 d y x   , từ đó tính được x

Thay 5 y  và giá trị x vừa tìm được vào hàm số 4 y ax   từ đó tìm được hệ số a

Cách giải:

a) Với 0, 9 a a   ta có:

  

       

2 1 3 7 9 3 3

2 1 3 7 3 3 3 3

2 3 1 3 3 7

3 3

a a a P a a a

a a a P

a a a a

a a a a a P

a a

       

        

      

 

2 5 0 2 5 6 3 15

5 3 18 5 3 18 5 3 18

11 33 3 3

2 5 2.3 5 1

x y x y x y

x y x y x y

x x x

y x y y

                                           

3

  

  

    

2 6 3 3 3 7

3 3

3 9

3 3

3 3

3 3

3

3

a a a a a a P

a a

a a P

a a

a a P

a a

a P

a

       

 

 

 

 

 





Vậy với 0, 9 a a   thì 3

3 a P

a 



.

b) Thay 5 y  vào phương trình đường thẳng : 3 2 d y x   ta có 5 3 2 3 3 1 x x x     .

Do đó đồ thị hàm số 4 y ax   cắt đường thẳng : 3 2 d y x   tại điểm   1;5 A  .

Thay 1, 5 x y   vào hàm số 4 y ax   ta có 5 4 5 4 9 a a    .

Vậy 9 a .

Câu 3

Phương pháp:

a) Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là  x m (ĐK: 0 x  ).

Tính được chiều rộng của hình chữ nhật theo x

Theo giả thiết của đề bài, lập được phương trình, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận.

b) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x với mọi m 0, m  

Theo hệ thức Vi – ét, tính được 1 2 1 2 ; x x x x  theo m

Biến đổi hệ thức của đề bài để xuất hiện 1 2 1 2 ; x x x x  , thay vào và giải phương trình chứa m

Cách …