Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2018 có đáp án và lời giải chi tiết

1

Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 4 1 x A

x

 



và 3 1 2 2 3 3 x B

x x x      

với 0, 1 x x  

1) Tính giá trị của biểu thức A khi 9 x 

2) Chứng minh 1

1 B

x 



3) Tìm tất cả các giá trị của x để 5 4 A x B  

Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

4 2 3

2 2 3

x y

x y

       

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):   2 3 y m x    và Parabol 

2 : P y x 

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số

nguyên.

Bài IV. (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O;R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O;R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD . 3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng

minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. 4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng

AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài V (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 2 P x x x     

………………………..HẾT…………………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2018

Thời gian làm bài: 120 phút

2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM

Bài I.

Cho hai biểu thức 4 1 x A

x

 



và 3 1 2 2 3 3 x B

x x x      

với 0; 1 x x  

1) Tính giá trị của biểu thức A khi 9 x  .

Do 9 x  thỏa mãn điều kiện nên thay 9 x  vào biểu thức A ta có:

9 4 3 4 7 3 1 2 9 1 A       

Vậy khi 9 x  thì 7 2 A  .

2) Chứng minh 1

1 B

x 



.

Với 0; 1 x x   ta có:

   

  

    

  

  

3 1 2 2 3 3

3 1 2 3 3 3

3 1 2

3 1 3 1

3 1 2

3 1 3

3 1 2 1

1 3

3 1 2 2

1 3

3

1 3

1

1

x B

x x x

x B

x x x x

x B

x x x x

x B

x x x

x x B

x x

x x B

x x

x B

x x

B

x

     

      

  

   

  

  

  

 

  

 

 

 





Vậy   1 , 0; 1 1 B x x x    

3) Tìm tất cả các giá trị của x để 5 4 A x B  

3

Với 0; 1 x x  

 

 

 

2

4 1 4 : . 1 4 1 1 1

5 4 5 4 4 4 16 20

4 4 0

2 0

2 0

4

A x x x x B x x x A x x x B

x x

x x

x

x

x tm

         

     

   

   

  

  

 

Vậy x = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài II:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.

Cách giải:

Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là  28: 2 14 . m 

Gọi chiều dài của mảnh đất là  14 , 7 14 . 2 x m x         

Khi đó chiều rộng của mảnh đất là:  14 . x m 

Độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật là 10m nên ta có phương trình:

 

  

   

2 2 2

2

2

14 10

2 28 196 100 0

14 48 0

6 8 0

6 6 0 . 8 0 8

x x

x x

x x

x x

x ktm x x x tm

  

    

   

   

           

Với 8 x  thì chiều rộng của mảnh đất là: 14 8 6 . m  

Vậy chiều dài của mảnh đất là 8 , m chiều rộng của mảnh đất là 6 . m

Bài III

Cách giải:

1) Giải hệ phương trình: