Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2020 có đáp án và lời giải chi tiết

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút

Bai I (2 điểm): Cho hai biểu thức

1 2 x A

x

 

 và

3 5 1 1

x B x x

     với 0, 1 x x  .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi 4 x  .

2) Chứng minh

2

1 B

x 

.

3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 2 . P A B x   đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài II (2 điểm):

1) Giải bài toán san bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài 3 km. Buổi sáng, An đi bộ từ nhà An đến nhà Bình. Buổi chiều cùng ngày, An đi xe đạp từ nhà Bình về nhà An trên cùng quãng đường đó với vận tốc lớn hơn vận tốc đi bộ của An là 9km/h. Tính vận tốc đi bộ của An, biết thời gian đi buổi chiều ít hơn thời gian đi buổi sáng là 45 phút. (Giả định rằng An đi bộ với vận tốc không đổi trên toàn bộ quãng đường đó).

2) Một quả bóng bàn có dạng một hình cầu có bán kính bằng 2 cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng bàn đó (lấy 3,14  ).

Bài III (2,5 điểm):

1) Giải hệ phương trình

3 2 5 1 1 4 3 1

x y

x y

           

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét đường thẳng : 4 d y mx   với 0. m 

a) Gọi A là giao điểm của đường thẳng  d và trục . Oy Tìm tọa độ của điểm .A

b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng  d cắt trục Ox tại điểm B sao cho tam giác OAB là tam giác

cân.

Bài IV (3 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh . . BH BA BK BC  .

3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.

Bài V (0,5 điểm):

2

Giải phương trình 2 3 2 1 x x x    

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM

Bài I (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho hai biểu thức

1 2 x A

x

 

 và

3 5 1 1

x B x x

     với 0, 1 x x  .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi 4 x  .

Thay   4 x TMDK  vào biểu thức A ta có:

4 1 2 1 3 2 2 4 4 2 A        .

Vậy khi 4 x  thì

3 4 A 

.

2) Chứng minh

2

1 B

x 

.

Với 0, 1 x x   ta có:

  

     

  

  

    

 

3 5 1 1

3 5 1 1 1

3 1 5

1 1

3 3 5

1 1

2 2

1 1

2 1

1 1

2

1

x B x x

x B

x x x

x x B

x x

x x B

x x

x B

x x

x B

x x

B dpcm x

    

     

   

 

  

 

 

 

 

 





Vậy với 0, 1 x x   thì

2

1 B

x 

.

3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 2 . P A B x   đạt giá trị nhỏ nhất.

3

Với 0, 1 x x   ta có:

2 .

1 2 2. . 2 1 4

2

4 2 2 2

P A B x

x P x x x

P x x

P x

x

 

    

  

    

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương 2 x  và

4

2 x  ta có:

  4 4 2 2 2 . 2 4 4 2 2 x x x x        

4 2 2 2 2 2

x

x A

       

Dấu “=” xảy ra  

2 4 2 2 4 2 x x x          2 2 2 2 0, 1 x Do x x x        .

  0 0 x x tm     .

Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi 0 x  .

Bài II (2,0 điểm)

Cách giải:

1) Giải bài toán san bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài 3 km. Buổi sáng, An đi bộ từ nhà An đến nhà Bình. Buổi chiều cùng ngày, An đi xe đạp từ nhà Bình về nhà An trên cùng quãng đường đó với vận tốc lớn hơn vận tốc đi bộ của An là 9km/h. Tính vận tốc đi bộ của An, biết thời gian đi buổi chiều ít hơn thời gian đi buổi sáng là 45 phút. (Giả định rằng An đi bộ với vận tốc không đổi trên toàn bộ quãng đường đó).

Gọi vận tốc đi bộ của An là    / , 0 . x km h x 

 Thời gian An đi bộ hết quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là:  3 . h x

Vận tốc đi xe đạp của An hơn vận tốc đi bộ là 9 / km h nên vận tốc đi xe đạp là:   9 / . x km h 

 Thời gian An đi xe đạp hết quãng đường từ nhà Bình về nhà An là:  3 . 9 h x 

Vì An đi xe đạp nhanh hơn đi bộ là 45 phút  45 3 60 4 h  …