Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2023 có đáp án và lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP. HÀ NỘI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10

NĂM HỌC 2023 – 2024

MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút

Câu 1: Cho hai biểu thức 2  x A

x và 1 2 3 3 1       x x B x x với 0, 1   x x .

1) Tính giá trị của biểu thức A khi 9  x

2) Chứng minh

1 2



 x B

x

3) Tìm tất cả các giá trị của x để . 4  AB

Câu 2:

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định.

Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải

làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm

xong 900 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm?

(Giả định rằng số sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau.)

2) Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy là 30 cm và chiều cao là 120 cm . Tính thể tích

của khối gỗ đó (lấy 1 3, 4  )

Câu 3:

1) Giải hệ phưong trình

2 3 1 3 3 2 8 3

         

y x

y x

.

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol 

2 :  P y x và đường thẳng    : 2    d y m x m .

a) Chứng minh  d luôn cắt  P tại hai điềm phân biệt.

b) Gọi 1x và 2x là hoành độ các giao điểm của  d và  P . Tìm tất cả giá trị của m để

1 2 1 2

1 1 1 . 2     x x x x

Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( )  AB AC , nội tiếp đường tròn  O . Tiếp tuyến tại

điểm A của đường tròn  O cắt đường thẳng BC tại điểm S . Gọi I là chân đường vuông góc kẻ tù điểm O đến đường thẳng BC .

1) Chứng minh tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi H và D lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng SO và SC . Chứng minh    OAH IAD .

3) Vẽ đuờng cao CE của tam giác ABC . Gọi Q là trung điểm của đọ̣n thẳng BE . Đuờng thẳng QD cắt

đường thẳng AH tại điểm K . Chúng minh . .  BQ BA BD BI và đuờng thẳng CK song song với đường thẳng SO. Chứng minh . .  BQ BA BD BI . Chứng minh đường thẳng CK song song với đường thẳng SO.

Câu 5: Cho hai số thực dương a và b thoả mãn 2   a b . Chứng minh:

2 2

2 2 1     a b a b b a

-----HẾT-----

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM Câu 1 (TH):

Phương pháp:

1) Thay giá trị của x (thỏa mãn) vào biểu thức để tìm giá trị.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Giải phương trình tìm x. Chú ý đối chiếu điều kiện.

Cách giải:

1) Với x 9  thoả mãn , thay vào biểu thức A ta có: 9 2 11

3 9    A

Vậy với 9  x thì 11

3  A .

2) Với 0, 1   x x ta có:

  

        

     

  

  

    

2 x 3 3 x B x 1 x 1

2 x 3 3 x B

x 1 x 1 x 1

2 x 3 x 1 3 x B

x 1 x 1 x 1 x 1

2 x 3 x 1 3 x B

x 1 x 1

2x 2 x 3 x 3 3 x B

x 1 x 1

2x 2 x B

x 1 x 1

2 x x 1 B

x 1 x 1

2 x B (dpcm) x 1

     

      

        

   

 

   

 

 

 

 

 





Vậy với 0, 1   x x thì

1 2



 x B

x (đpcm).

3) Ta có:

A.B 4

x 2 2 x 4 x x 1 x 2 2 x 1

x 2 2 x 2

x 2 x 0

x( x 2) 0

x 0 x 0 x 0(Ktm) x 4(TM) x 2 0 x 2



        

   

  

  

                    

Vậy với 4  x thì . 4  AB .

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

PT: Thực tế hoàn thành trước 3 ngày so với kế hoạch.

2) Công thức thể tích hình trụ 2   V R h .

Cách giải:

1) Gọi số sản phẩm phân xưởng phải làm trong một ngày theo kế hoạch là   *  x x (sản

phẩm).

Thời gian để phân xưởng đó làm xong 900 sản phẩm theo kế hoạch là: 900

x (ngày)

Thực tế, mỗi ngày phân xưởng làm được: 15  x (sản phẩm)

Thời gian thực tế để phân xưởng đó làm xong 900 sản phẩm là: 900

15  x (ngày)

Vì thực tế, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm trước thời hạn 3 ngày nên ta có phương

trình: