Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2022-2023

Khóa ngày 13 tháng 12 năm 2022

Môn thi: TOÁN

SỐ BÁO DANH:……………

LỚP 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 05 câu.

Câu 1 (2.0 điểm): Cho biểu thức

( )

2 2 5 1 1 : 4 1 2 1 2 1 2 1

x x A x x x x

  − = − +   − + −   +

.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi 3 3 20 14 2 20 14 2 x= + + − .

Câu 2 (2.0 điểm):

a) Giải phương trình: ( ) 2 4 2 1 1 x x x x − − = − − .

b) Cho hệ phương trình: ( ) ( )

3 1 12

1 12 24

x m y

m x y

 + − =  − + = 

(với m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất ( ) ;x y thỏa điều

kiện 1. x y + 

Câu 3 (1.5 điểm): Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 2023 x y z + + = .

Chứng minh rằng: 2023 . . . 2022 2022 2022 3 yz zx xy x y z y z z x x y + +  + + + .

Câu 4 (3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Điểm E di động trên cạnh CD (khác

C, D). M là giao điểm của AE với BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại

N. I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Đường phân giác của góc BAE cắt cạnh BC tại P.

Chứng minh rằng:

a) 2 . BM DE a = .

b) AI vuông góc với MN và I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi E di động trên cạnh CD (khác C, D).

c) 2 AP EP  .

Câu 5 (1,0 điểm): Cho 6 4 3 2 2 2 P n n n n = − + + (với , 1 n n  ).

Chứng minh rằng: P không phải là số chính phương.

-------------HẾT------------- Chú ý: + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

+ Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2022-2023

Khóa ngày 13 tháng 12 năm 2022

Môn thi: TOÁN

LỚP 9 THCS Đáp án này gồm có 06 trang

YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của thí sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu thí sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Ở câu 4 nếu thí sinh không vẽ hình thì cho 0 điểm. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Thí sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm 1

Cho biểu thức

( )

2 2 5 1 1 : 4 1 2 1 2 1 2 1

x x A x x x x

  − = − +   − + −   +

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi 3 3 20 14 2 20 14 2 x= + + − .

2.0

1.a

Rút gọn biểu thức

( )

2 2 5 1 1 : 4 1 2 1 2 1 2 1

x x A x x x x

  − = − +   − + −   + 1.0

Điều kiện: 1 0; ; 1 4 x x x   . 0.25

A =

2 4 2 5 2 1 (2 1) . (2 1)(2 1) 1 x x x x x x x − − + + + + − − 0.25

A = 1 2 1 . 2 1 1 x x x x − + − − 0.25

A = 2 1 2 1 x x + −

Vậy A = 2 1 2 1 x x + −

với điều kiện 1 0; ; 1 4 x x x   .

0.25

1.b Tính giá trị biểu thức A khi 3 3 20 14 2 20 14 2 x= + + − . 1.0

Áp dụng hằng đẳng thức ( ) ( ) 3 3 3 3 a b a b ab a b + = + + + , ta có :

( )( ) 3 3 20 14 2 20 14 2 3 20 14 2 20 14 2 . x x = + + − + + −

0.25