Đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm 2022 2023 trường THCS Phan Ngọc Hiển Cà Mau

UBND HUYỆN NĂM CĂN TRƯỜNG THCS PHAN NGỌC HIỂN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1 (6,0 điểm).

a) Rút gọn: 13 160 53 4 90 − + −

b) Chứng minh 3 3 125 125 x 3 9 3 9 27 27 = + + + − + là số nguyên.

c) Giải phương trình:

2 1 5 8 2 + = x x

Bài 2 (3 điểm). Cho hai đường thẳng:

1

2

(d ): y mx 2m

1 m 1 (d ): y x m m

= −

+ = −

(với m 0, m 1 ≠ ≠± )

a) Xác định tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng trên theo m.

b) Chứng minh khi m thay đổi thì điểm M luôn di động trên một đường thẳng cố định.

Bài 3 (3,0 điểm). Ông Huy có 24m hàng rào rất đẹp và muốn rào một sân vườn hình chữ nhật đạt được diện tích lớn nhất. Vườn ngay sát nhà để một cạnh không phải rào. Hỏi kích thước sân vườn đó?

Bài 4 (2 điểm). Tứ giác ABCD có độ dài hai đường chéo là m và n. Góc nhọn tạo bởi hai đường chéo là α. Chứng minh diện tích S của tứ giác ABCD là

1 S mnsin 2 = α.

Bài 5 (6 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) đường kính CB.

a) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Chứng minh tứ giác ADCE là hình thoi.

b) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.

c) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

--HẾT---

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM – THANG ĐIỂM

Bài Nội dung Điểm 1.a 2 2 13 160 53 4 90 (2 2 5) (3 5 2 2)

2 2 5 3 5 2 2 2 5

− + − = − + −

= − + − =

1 1

1.b Đặt

3 3

3

125 125 a 3 9 , b 3 9 27 27

125 5 ab 9 9 27 3

= + + = − +

  ⇒ = − + = −    

Khi đó:

3

3 2

125 125 5 x 3 9 3 9 3 x 6 5x 27 27 3

x 5x 6 0 (x 1)(x x 6) 0 (1)

  = + + + − + + ⋅− = −     ⇒ + − = ⇔ − + + =

Mà:

2 2 1 23 x x 6 x 0 x 2 4   + + = + + > ∀∈     

Nên (1) x 1 0 x 1 ⇔ −= ⇔ = Vậy x là số nguyên

1 1

1.c Điều kiện x > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

2 2

2 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 8x 8x x 4 x 4 x 4 x 4 x

1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 8x 4 x 4 x 4 x 4 x 2

+ = + + + +

≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Dấu “=” xảy ra 2 1 1 1 8x x 4 x 4 ⇔ = ⇔ = (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là 1 x 4 =

2

2a Do 1 1 m m m ≠± ⇒ ≠ ⇒ (d1) cắt (d2)

Hoành độ điểm M là nghiệm của phương trình

1 1 1 1 2 2 1 1 1 m mx m x x y m m m m + − = − ⇒ = − ⇒ = −+ + +

Vậy 1 1 2 ; 1 1 1 M m m   − −+   + +  

0,25 1,0 0,25

2b Ta có:

1 1 2 1 1 1 1 1 x y y x m m + = − −+ = ⇒ = −+ + +

1,0

Bài Nội dung Điểm Do đó M luôn di động trên đường thẳng cố định 1 y x = −+ 0,5 3 Gọi x (m) là cạnh khu vườn không song song với tường nhà. Điều kiện: 0 x 12 < < Cạnh còn lại của khu vườn là 24 2x − (m) Ta có diện tích khu vườn:

2 S x(24 2x) 72 2(x 6) 72 = − = − − ≤ Do đó maxS 72 khi x 6 = = ⇒ cạnh còn lại là 24 2.6 12(m) − = Vậy kích thước của khu vườn là 6m và 12m.

0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25

4 Kẻ , BH AC DK AC ⊥ ⊥ . Ta có: 

 α

α

∆ = =

∆ = =

0

0 , 90 : .sin

, 90 : .sin

HOB H BH OB

ODK K DK OD

α

α α

= + = + = +

= =

1 1 ( ) ( )sin 2 2 1 1 . .sin sin 2 2

ABC ADC S S S AC BH DK AC OB OD

AC BD mn

Vậy α = 1 sin 2 S mn

1,0 1,0

5a + ABCD là hình bình hành: có = = , AH HC DH HE + Hình bình hành ABCD có ⊥ DE AC nên là hình thoi

0,75 0,75

5b + ⊥ ⊥ ⇒ , / / CK DB AD DB CK AD + ABCD là hình thoi ⇒ / / EC AD Qua C có ⇒ / / , / / CK AD CE AD hai đường thẳng CK, CE trùng nhau (Tiên đề Ơ-clit) Vậy ba điểm E, C, K thẳng hàng

0,5 0,5 1 0,5

K

E

D

H O' O A B C

O H

K A

D

B

C