Đề học sinh giỏi huyện lớp 9 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Tiên Du Bắc Ninh

UBND HUYỆN TIÊN DU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 22/2/2023

I. PHẦN CHUNG

Câu 1(3,0 điểm) Cho biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 x x A x x x x x x

                   

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A tại 4 2 3. x   Câu 2(3,0 điểm)

Cho hai đường thẳng       1 2 : 1; : 4 1 ; d mx y d x m y m      với 1. m 

1) Chứng minh rằng đường thẳng   1d đi qua điểm A cố định, đường thẳng   2 d đi qua điểm B cố

định với mọi 1. m  2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Câu 3(3,5 điểm)

1) Giải phương trình

2 5 2 3. 3 4 x x x

    

2) Gọi x, y là các số thực thỏa mãn 4 5 9

5 4 9

x y

x y

     

    

Tính 2 3 . M x y   Câu 4(6,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm M thay đổi trên Ax, không trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.

a) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). b) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

AME. c) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên tia Ax để diện

tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R. d) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ax, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và song song với

Ax, cắt OM tại D. Chứng minh A, D, P thẳng hàng. II. PHẦN RIÊNG

Thí sinh lựa chọn làm một (chỉ một) câu trong hai câu sau: Câu 5a (4,0 điểm)

1) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn   2 3 6 12 27. x x x y    

2) Với các số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 4.

Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 2. 1 1 1 1 x y z t        

Câu 5b (4,0 điểm)

1) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn ab bc ca   chia hết cho 3. Chứng minh rằng nếu

3 3 3 a b c   chia hết cho 3 thì 3 3 3 a b c   chia hết cho 27.

2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 1 1 1. x y z x y z     

Chứng minh rằng

3 3 3

3 3 3 0. x x y y z z x y z y z x z x y           

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

UBND HUYỆN TIÊN DU PHÒNG GD & ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán - Lớp 9 Câu Đáp án Điểm 1.1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 x x A x x x x x x

                   

3) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 4) Tính giá trị của A tại 4 2 3. x   ĐKXĐ: 0; 1. x x  

  

    

 

  

2

1 2 1 : 1 1 1

1 1 2 : 1 1 1 1

1 2 1: 1 1 1

1 1: 1 1 1

1 1 . 1 1

1. 1

x x A x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x

                   

              

       

      

     

  



Vậy 1 1 x x A

x   



0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

1.2. (1,0 điểm)

Theo câu 1 có 1 1 x x A

x   



với 0; 1. x x  

Theo bài ra  

2 4 2 3 3 1 x x      (tmđk)

Thay vào A ta được:

   

 

2

2

4 2 3 3 1 1

3 1 1

4 2 3 3 1 1 3 1 1

6 3 3

3

3 2 3

A

    

 

   



 

 

Vậy A =3 2 3  tại 4 2 3. x  

0,25 0,25 0,25 0,25 2.1 (2,0 điểm)