Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT thành phố Thái Nguyên

UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN THI : TOÁN (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1 (3 điểm). Rút gọn biểu thức

3 3 3 3 2 7 2 10 3 4 3 2 1 5 2 1 A + + + − − = + +

Lời giải:

( )

( )

3 3 3 3

2 3 3 3 2 3 3 3

2 3 3 3 3

3 3

2 7 2 10 3 4 3 2 1

5 2 1

2 2 5 1 3 2 3 2 2

5 2 1

2 2 5 (1 2)

5 2 1

2 2 5 1 2 2 5 1 1 5 2 1 5 2 1

A + + + − − = + +

+ + + − + − = + +

+ + + − = + +

+ + + − + + = = = + + + +

Vậy A=1

Bài 2 (6 điểm). Cho biểu thức 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x B x x x x x

  + − = + +   − + + −  

.

a. Rút gọn biểu thức B.

b. Tìm giá trị của x để 2 7 B = .

c. Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên. d. So sánh 2 B và 2B .

Lời giải:

a.

2

2

2 1 1 : 2 1 1 1

( 2) ( 1) ( 1) 1 : 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

2 1 2 2( 1) 2 . ( 1)( 1) 1 ( 1) ( 1) 1

x x x B x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

  + − = + +   − + + −     + − + + − = + −   − + + − + + − + +  

− + − = = = − + + − − + + + +

Vậy 2 1 B x x = + +

Với 0; 1 x x ≥ ≠.

ĐÁP ÁN

b. Ta có

2 2 2 1 7 7 7 1

6 0 ( 3)( 2) 0

3 0 3( )

2 0 2

4( dkxd)

B x x x x

x x x x

x x loai

x x

x tm

= ⇔ = ⇔ + + = + +

⇔ + − = ⇔ + − =

  + = = −   ⇔ ⇔   − = =     ⇔ =

c. Do 0; 1 x x ≥ ≠ nên 1 1 x x x + + ≥∀

Do đó 2 2 0 2 1 1 x x ≤ ≤ = + +

mà } {1;2 B Z B ∈ ⇒ ∈

+) Nếu 2 1 1 1 2 1 B x x x x = ⇔ = ⇔ + + = + +

2 1 5 1 0 2 4 x x x   ⇔ + −= ⇔ + =    

mà ( 1 0) 2 x + >

1 5 5 1 3 2 5 ( ). 2 2 2 2 x x x tm − − ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

+) Nếu 2 2 2 1 1 1 B x x x x = ⇔ = ⇔ + + = + +

( ) 0 1 0 x x x x ⇔ + = ⇔ + = mà ( 1 0) x + >

0 0( ). x x tm ⇔ = ⇔ =

Vậy để 3 2 5 0; . 2 B Z x   −   ∈ ⇔ ∈     

d. Xét hiệu 2 2( ) 2 2 0 1 1 x x B x x x x − + − = − = < + + + +

Vì 0; 1 0 x x x x ≥ ≠⇒ + > và 1 0 x x + + >

Ta có 2 2 ( 2) 0 0 B B B B do B − = − < >

Vậy 2 2 B B < .

Bài 3 (3 điểm).

a. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( ): ( 2) 3 ( 3) d y m x m = − + ≠ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) d cắt Ox tại điểm A, cắt Oy tại

điểm B sao cho = o ABO 30 .

b. Giải hệ phương trình:

2 2

2 2 4 5

4 8 5 +10 1

x y

x y xy x y

 + =  + + = 

Lời giải:

a. Cho 0; 3 x y = = ta được (0;3) B Oy ∈

Cho 3 0; 2 y x m − = = −

ta được

3 ( ;0) Ox 2 A m − ∈ −

Suy ra, ta có: 3 ; 3 2 OA OB m − = = −

Ta có:

 0 3 3 tan :3 tan30 2 3 OA OBA OB m − = ⇒ = = −

3 2 2 3 3 2

m m m

 = + ⇒ − = ⇒ = − + 

b.

2 2

2 2 4 5

4 8 5 +10 1

x y

x y xy x y

 + =  + + = 

2 ( 2 ) (4x 5) 0

( 2 )(4x 5) 1

x y y

x y y

 + − + = ⇔ + + = 

Đặt 2

4x 5

x y a

y b

+ =   + = 

Ta có hệ phương trình

2 1 0 1 1

a a b b ab

=  − =  ⇔  = =  

Ta có 2 2 1 1 2 1 2

4x 5 1 4 (1 2 ) 5 1 8 4 4 0

x y x y x y

y y y y y

+ = = − = −    ⇔ ⇔    + = − + = − + + =   

1; 1

1 2; 2

x y

x y

= − =  − = = 

Vậy ( ; ) x y thoả mãn là 1 ( 1;1); (2; ) 2 − −

Bài 4 (6 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB , điểm M di động trên nửa đường tròn đó ( , ) M A M B ≠ ≠ . Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc với điểm M trên đường thẳng AB. Vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn đường kính BH. Đường thẳng MA cắt đường tròn đường kính AH tại điểm E ( ) E A ≠ . Đường thẳng MB cắt đường tròn đường kính BH tại điểm F ( ) F B ≠ .

e. Chứng minh: . . ME MA MF MB = .