Đề học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Quảng Ngãi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2022 - 2023 Ngày thi 16/02/2023 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1. (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên tố p sao cho 10 p + và 14 p + là các số nguyên tố. 2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên ,x y của phương trình

2 2 3 4 0. x xy x y + − − − =

3) Cho ba số , , a b c Z ∈ thoả mãn 2023 2022 . a b c + + = Chứng minh 3 3 3 a b c + + chia hết cho 6. Bài 2. (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức: 2 1 2 1 : 1 1 1 x x M x x x x x x

   = − −       + + + + +   

, với 0 x ≥ .

Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của biểu thức M khi 2023 2 2022 x = − . 2) Cho ba số dương , , x y z thỏa mãn 1. x y z + + =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . 1 1 1 x y z P x y z = + + + + +

Bài 3. (4,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 3 2 1 2 4 3. x x x x x x + + + = + + +

2) Giải hệ phương trình

2

2 3 2 3

1 1 (1 ) 4

1 4

x x y y

x x x y y y

 + + + =   + + + = ⋅ 

Bài 4. (7,0 điểm)

1) Một học sinh có tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 20 . cm Em muốn cắt tấm bìa này thành bốn hình tam giác vuông bằng nhau và phần còn lại là hình vuông MNPQ thỏa mãn , , , M N P Q lần lượt thuộc các cạnh , , , . AB BC CD DA Hãy xác định vị trí các điểm , , , M N P Q để diện tích hình vuông MNPQ là nhỏ nhất. 2) Cho đường tròn tâm O đường kính 2 . AB R = Điểm M di động trên đoạn OA ( M khác A), vẽ đường tròn tâm K đường kính . MB Gọi I là trung điểm của đoạn , MA đường thẳng đi qua I vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và . D Đường thẳng

CB cắt đường tròn (K) tại . P a) Chứng minh rằng ba điểm , ,D P M thẳng hàng. b) Chứng minh rằng PI là tiếp tuyến của đường tròn (K). c) Tìm vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IPK lớn nhất. Bài 5. (1,0 điểm) Người ta làm một cái hộp hình vuông để đựng được 5 cái bánh hình tròn có đường kính 6 , cm sao cho không có bất kì hai cái bánh nào được chồng lên nhau. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của cái hộp.

HẾT Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2022 - 2023 Ngày thi 16/02/2023 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Hướng dẫn chấm có 6 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1. (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên tố p sao cho 10 p + và 14 p + là các số nguyên tố. 2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên ,x y của phương trình

2 2 3 4 0. x xy x y + − − − =

3) Cho ba số , , a b c Z ∈ thoả mãn 2023 2022 . a b c + + = Chứng minh 3 3 3 a b c + + chia hết cho 6. Tóm tắt cách giải Điểm 1.1) * Với p = 2 thì p + 10 = 12 là hợp số. * Với p = 3 thì p + 10 = 13 và p + 14 = 17 là các số nguyên tố. * Với p > 3 mà p là số nguyên tố nên p có dạng: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ N*) - Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3(k + 5) 3 là hợp số. - Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3(k + 4) 3 là hợp số. Vậy p = 3 thì p + 10 và p + 14 là các số nguyên tố.

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 1.2) Ta có : 2 2 3 4 0. x xy x y + − − − =

2 3 3 3 1 x x xy y x ⇔ − + − + − = ( 3) ( 3) 3 1 x x y x x ⇔ − + − + − = ( 3)( 1) 1 x x y ⇔ − + + = Ta có các trường hợp sau:

TH1: 3 1 4

1 1 4

x x

x y y

− = =   ⇔   + + = = −  

TH2: 3 1 2 1 1 4 x x x y y − = − =   ⇔   + + = − = −  

Vậy nghiệm nguyên của pt là ( ) ( ) (x;y) 4; 4 , 2; 4 = − −

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

1.3) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 a b c a a b b c c a b c + + = − + − + − + + +

( ) ( ) 3 1 1 6 a a a a a − = − +  (tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6).

Tương tự 3 3 6, 6 b b c c − −  và có 2022 6 2023 2022 6 a b c ⇒ + + =  Vậy 3 3 3 6 a b c + + 

0,25 điểm 0,25 điểm

ĐỀ CHÍNH THỨC