Đề học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Bình Phước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC

(Đề gồm có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 18/03/2023

Câu 1: (5.0 điểm).

1. Cho biểu thức 3 2 9 3 9 : 1 9 2 3 6 x x x x P x x x x x

   − + − − = + − −       − − + + −   

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .

b) Tính giá trị của biểu thức P khi 3 3 13 48 x = − − − .

2. Cho , , x y z là ba số thực khác 0 , thoả mãn 1 1 1 0 x y z + + = .

Chứng minh rằng: 2 2 2 3 yz zx xy x y z + + = .

Câu 2: (5.0 điểm). 1. Giải phương trình: 3 1 3 1 0 x x x + − + + − = .

2. Giải hệ phương trình:

2 2

2

2 1 xy x y x y

x y x y

 + + =  +   + = − 

.

3. Cho đường thẳng ( ) : ( 1) 2 1 0 d mx m y m + − − + = (với m là tham số). Tìm điểm cố định mà đường thẳng( ) d luôn đi qua với mọi giá trị của m . Câu 3: (5.0 điểm). Cho đường tròn ( ) ; O R và dây cung BC cố định ( ) 2 BC R < . Điểm A

di động trên đường tròn ( ) ; O R sao cho tam giác ABC nhọn. Kẻ đường cao AD và trực tâm H của tam giác ABC .

a) Đường thẳng chứa phân giác ngoài của góc BHC cắt , AB AC lần lượt tại các điểm , M N . Chứng minh tam giác AMN cân. b) Các điểm , E F lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng , BH CH . Các điểm , P Q lần lượt là hình chiếu của D trên các cạnh , AB AC . Chứng minh 4 điểm , , , P E F Q thẳng hàng và OA PQ ⊥ . c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong của góc BAC tại

K . Chứng minh đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định. Câu 4: (2.0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, điểm O là trung điểm của BC . Đường tròn ( ) O tiếp xúc với các cạnh AB ,AC lần lượt tại , E F . Điểm H chạy trên cung nhỏ

EF của ( ) O , tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại H cắt , AB AC lần lượt tại , M N . Xác định vị trí của điểm H để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất. Câu 5: (3.0 điểm).

1. Cho , , a b c là ba số thực dương, thoả mãn 1 ab bc ca + + = .

Chứng minh rằng: ( ) 4 2 4 2 4 2 5 2 9 a b b c c a abc a b c + + + ≥ + + .

2. Giải phương trình sau với nghiệm nguyên: 2 2 2 3 3 5 3 0 x y xy x y + + + + − = . …………… Hết …………… • Thí sinh không được sử dụng tài liệu. • Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn: Toán - Lớp 9 (Hướng dẫn và biểu điểm gồm 05 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm 1 (5.0đ)

1

Cho biểu thức 3 2 9 3 9 : 1 9 2 3 6 x x x x P x x x x x

   − + − − = + − −       − − + + −   

1.a Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .

P xác định

0

4

9

x

x

x

≥   ⇔ ≠  ≠ 

3 2 9 3 : 9 2 3 6 x x x x x P x x x x x

   − + − − = + +       − − + + −   

3 2 3 : 2 3 2 3 x x x x P x x x x

  − + − = + +     − + − +  

2 : 3 3 x x x x + = + +

2 x x + =

0.5

0.5

0.5

0.5

1.b Tính giá trị của biểu thức P khi 3 3 13 48 x = − − − .

Ta có ( ) 3 3 13 48 3 3 2 3 1 x = − − − = − − − ( ) 3 3 1 1 = − − =

1 2 3 1 P + ⇒ = =

0.75

0.25

2 Cho , , x y z là ba số thực khác 0 thoả mãn 1 1 1 0 x y z + + = . Chứng minh

rằng: 2 2 2 3 yz zx xy x y z + + =

+ Chứng minh được bài toán: Nếu 0 a b c + + = thì 3 3 3 3 a b c abc + + =

+ Vì 1 1 1 0 x y z + + = và , , 0 x y z ≠ nên suy ra được 3 3 3 1 1 1 3 x y z xyz + + =

Do đó 2 2 2 3 3 3 1 1 1 3 . 3 yz zx xy VT xyz xyz VP x y z x y z xyz   = + + = + + = = =    

(đpcm)

1.0

1.0

2 (5.0đ)

1 Giải phương trình: 3 1 3 1 0 x x x + − + + − =

Điều kiện: 1 3 x − ≥

Ta có: 3 1 3 1 0 x x x + − + + − =

( ) 2 2 2 1 0 1 1 0 3 1 3 3 1 3 x x x x x x x −   ⇔ + − = ⇔ − − =   + + + + + +  

1 ( )

3 1 3 2

x N

x x

=  ⇔ + + + = 

Giải phương trình: 3 1 3 2 x x + + + =

0.25

0.5

0.25